В наш час електронно-обчислювальні машини та інформаційні технології стали невід’ємною частиною промисловості та міцно ввійшли в побут простих громадян. І хоча сучасні комп’ютери здатні виконувати набагато складніші задачі ніж могли їхні пращури з 60-х років двадцятого століття, все рівно математична обробка інформації була, є і в майбутньому буде основою їх роботи. Кожен найсучасніший комп’ютер - чи він застосовується для обробки зображень, чи для проектування автомобілів, чи виступає в ролі ігрового автомату - все рівно, в першу чергу, він є обчислювальною машиною. Арифметичні та логічні вирази є невід’ємною частиною практично всіх, навіть вузькоспеціалізованих, комп’ютерних програм і тому потрібно мати у наявності алгоритми, які розпізнають і обчислюють їх якомога швидше і ефективніше. Тема обчислення виразів проходить через більшу частину програмування; з нею пов’язані синтаксис і семантика алгоритмічних мов, компіляція, формальні мови, структури даних, логіка, рекурсія і обчислювальна складність. Тому наукові розробки даного напрямку є важливими не тільки зараз - вони збережуть свою актуальність і в майбутньому.
Яка ж мета ставилася при написанні даної роботи ? Серед основних цілей можна назвати слідуючі:
• систематизувати та узагальнити існуючі на даний час відомості з теорії аналізу та обчислення виразів;
• виявити корисні з практичної точки зору критерії оптимальності програм та розглянути ефективність різних алгоритмів обчислень відносно цих критеріїв;
• розглянувши сильні та слабкі сторони кожного алгоритму визначити клас задач, на яких цей алгоритм має переваги перед іншими;
• намітити основні способи оптимізації.
Оскільки критерієм істини є практика, то не менш важливим моментом даної дипломної роботи є практична реалізація алгоритмів обчислення виразів на одній з мов програмування і перевірка на практиці ефективності методів оптимізації.
§1. Основні положення.
Існує принаймні три різні способи означення арифметичних виразів. Підручники з програмування для початківців, як правило, подають їх на прикладах. Цілком логічна основа цього підходу полягає в тому, що можна навчитися писати правильні вирази, переглянувши достатню кількість прикладів. Це у великій мірі схоже на навчання деякої не рідної для людини іноземної мови. Так як було відмічено, що більшість програмістів використовують в своїх програмах доволі прості вирази, то цей підхід у більшості випадків виявлявся цілком прийнятним.
Більш формальний підхід полягає в тому, що синтаксис і семантику арифметичних і логічних виразів задають за допомогою контекстно-вільних правил перетворення, як це зроблено в описі Алголу. Проміжний підхід, зберігаючи деяку долю математичної точності визначень і в значній мірі розрахований на інтуїцію, полягає у визначенні цих виразів індуктивно або рекурсивно.
Арифметичний вираз індуктивно визначається наступним чином:
1. Довільна змінна є арифметичним виразом.
2. Довільна константа є арифметичним виразом.
3. Довільне посилання на арифметичну функцію є арифметичним виразом.
4. Якщо Х – арифметичний вираз, то (Х) – теж арифметичний вираз.
5. Якщо Х і У обидва є арифметичними виразами, то арифметичними виразами також будуть (Х+У), (Х-У), (Х*У), (Х/У), (Х^У).
6. Жоден об’єкт не є арифметичним виразом, якщо той факт, що він є арифметичним виразом не слідує з скінченого числа застосувань правил 1 – 5.
Це означення дає набір ефективних правил, придатних для побудови довільного арифметичного виразу в термінах змінних, констант, посилань на функції і операцій +, -, *, /, ^.
Для спрощення подальшого викладу, ми до кінця даного параграфу накладемо наступні обмеження на арифметичні вирази:
• всі змінні та константи позначаються великими буквами латинського алфавіту;
• у виразах зустрічаються тільки бінарні алгебраїчні операції +, -, *, /, ^;
• у виразах немає викликів алгебраїчних функцій.
Ці обмеження дають змогу побудувати прості і очевидні алгоритми маніпуляцій з виразами. В наступних параграфах ці обмеження буде знято, а всі алгоритми узагальнено.
Твердження 1.
У правильно побудованому арифметичному виразі, що містить лише бінарні алгебраїчні операції, кількість операндів на 1 більше кількості операцій.
Доведення. Правильно побудований вираз найменшої довжини має вигляд А або (А), де А - деякий операнд. В цьому виразі кількість операндів 1, кількість операцій 0, отже твердження виконується. Найменший вираз, що містить операцію має вигляд (А операція1 В). Тут кількість операндів 2, а операцій - 1, отже знову виконується твердження.
