1

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду

План

Розвинення функції у степеневий ряд.

Контрольні запитання

Яке розвинення в степеневий ряд функції ex.

Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x.

Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x.

Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x).

Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x

Література

Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. - К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. - 432с.

Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex має вигляд

(1)

Нехай R- довільне фіксоване додатне число. Якщо x є (-R; R), то

(2)

Позначивши через , матимемо

(3)

За ознакою Д'Аламбера ряд а1+а2+…an+… збіжний, тому . Звідси дістанемо

(4)

для всіх x є (-R;R). Оскільки число R було взято довільно, рівність правильна для всіх Х є

За теоремою Д'Аламбера функція f(x)=ex в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд.

. (5)

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд

(6)

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легко оцінюється зверху:

, (7)

Вище було показано, що для всіх R>0. Тому для всіх х є правильною є рівність

Звідси дістанемо

(8)

для всіх х є .

Функція f(x)=sin x в інтервалі розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд

. (9)

Аналогічно можна діяти при розвиненні в степеневий ряд функції f(x)=cosx.Однак простіше скористатись теоремою, згідно з якою степеневий ряд в інтервалі збіжності можна диференціювати почленно. Про диференціювавши почленно попередній ряд, матимемо (10)

Розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Правильною є рівність

(геометрична прогресія із знаменником, що дорівнює -x).Попередній степеневий ряд можна почленно інтегрувати на проміжку з кінцями 0 та x,де -1 x 1.Виконавши це дістанемо (11)

Оскільки

На підставі двох останніх рівностей знаходимо (12)

Розвинення в степеневий ряд функції arсtg x.Знаючи, що для х є

(-1;1) правильною є рівність.

(чому це так?),по членним інтегруванням її дістанемо

Оскільки,

остаточно маємо

Приклади

Розвинути функцію у степеневий ряд в околиці точки х0=2.

Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під знаком функції одержати вираз (х-2)

Тепер скористаємось формулою (10), ф яку замість х підставимо Тоді

.

Записаний ряд збігається до заданої функції при , тобто при

Таким чином,

2. Розвинути в ряд Макларена функцію

Маємо таке розвинення

Підставивши сюди замість х змінну -х, дістанемо

Віднявши від першої рівності другу, знайдемо

1