1

Частинні похідні і диференціали вищих порядків

План

Частинні похідні вищих порядків

Теорема про рівність змішаних похідних

Диференціали вищих порядків

6.11.Частинні похідні вищих порядків

Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні і є функціями змінних і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій і можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:

- функція два рази диференціюється по ;

- функція диференціюється по , а потім по ;

- функція диференціюється по , а потім по ;

- два рази диференціюється по .

Похідні другого порядку також можна диференціювати по і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.

Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .

Р о з в ' я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:

; .

Диференціюємо кожну з них по і . Одержуємо частинні похідні другого порядку:

.

В розглянутому прикладі

.

Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.

Теорема. Якщо функція та її частинні похідні означені і неперервні в точці і в деякому її околі, то в цій точці

,

тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.

Доведення теореми опускаємо.

Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.

Нехай - диференційована в області функція двох незалежних змінних і . В будь-якій точці цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:

.

Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень і , тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши і , одержимо функцію двох змінних і , означену в області .

Диференціал від цієї функції в будь-якій точці області , якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції в точці . Позначається або .

Отже, за означенням .

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема,

.

Якщо функція в області має неперервні частинні похідні до - го порядку включно в кожній точці області існують. Обчислимо їх:

тощо.

Введемо символічну - у степінь : вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну - у степінь із подальшою зміною степенів і , помножених на , частинними похідними відповідного порядку від функції .

Тоді

(6.72)

…………………………………………….

Зауваження. Якщо - диференційована функція проміжних змінних і , які, в свою чергу, є диференційованими функціями і , то, обчислюючи , і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів.

Так,

Тут і - не є постійними (постійні ). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.

1