1 2 3 4 5

Якщо поділити дві частини рівності (6) на об'єм V, використовуючи рівність

limV→∞(1/V)∑kF(k)=∫dkF(k)/8π3,

то густину енергії u=U/V можна записати у вигляді

u=∫dkE(k)f(E(k))/4π3 (8)

Розділивши на V також і дві частини співвідношення

N=∑i1/(exp((E-μ)/kST)+1),

можна доповнити (8) виразом для густини електронів n=N/V і використати його для виключення хімічного потенціалу

n=∫ f(E(k))dk/4π3 (9)

При розрахунку типу (8) і (9) , які мають форму

∫ F(E(k))dk/4π3 (10)

часто використовують те, що підінтегральний вираз залежить від k лише через енергію електрона E=ħ2k2/2m. Переходячи в інтегралі до сферичних координат і замінюючи k на E, маємо

∫ F(E(k))dk/4π3=∫0,∞k2dk F(E(k))/ π2=∫-∞,∞dEg(E)F(E) (11)

Тут

g(E)={(m/ħ2π2 )√2mE/ ħ2 , E>0; 0, E<0.

Оскільки інтеграл (10) являє границю суми

(1/V)∑ksF(E(k)),

із виразу слідує, що

g(E)dE=(1/V)l (13)

де l- число одно електронних рівнів в інтервалі енергій від E до E+dE.

g(E) називають густиною рівнів в розрахунку на одиницю об'єму (або густиною рівнів). g зручно записати у виді:

g(E)={3n/2EF(E/EF)1/2 , E>0; 0, E<0 (14)

Особливо важливо знати числове значення густини рівнів біля поверхні Фермі, яке може бути представлене в двох еквівалентних формах, що випливають з співвідношень (12) і (14)

g(EF)=mkF/ħ2π2 (15)

або

g(EF)= 3n/2EF (16)

Використовуючи введені позначення, запишемо вирази (8) і (9) наступним чином:

U==∫-∞,∞dEg(E)F(E) (17) і

n=∫-∞,∞dEg(E)f(E) (18)

Якщо визначити густину рівнів з допомогою виразу (13), то ми отримаємо для конкретного випадку, а вирази (17) і (18) справедливі для будь-якої кількості невзаємодіючих (незалежних) електронів.

Інтеграли (17) і (18) мають складну структуру, але їх можна розкласти в ряд тому, що при всіх температурах, які представляють інтерес для металів, при температурах набагато меншій за температуру Фермі.

Функція f(E) відрізняється від свого значення при нульовій температурі лише в малій області шириною порядку kBT поблизу μ.

Тому відмінність інтегралів типу

∫-∞,∞H(E)f(E)dE

від їх значень для нульової температури

∫-∞,EFH(E)dE

повністю визначається видом функції H(E) поблизу точки E=μ. Якщо H(E) міняється мало в області шириною порядку kBT поблизу точки μ, то температурну залежність інтеграла можна знайти, замінивши функціюH(E) на суму декількох перших членів її розкладу в ряд Тейлора при E=μ:

H(E)=∑n=0,∞ (dn/dEn) H(E)|E-μ(E-μ)n/n! (19)

Результат має форму ряду

∫-∞,∞H(E)f(E)dE=∫-∞,∞H(E) dE+∑n=1,∞ (kBT)2nan(d2n-1/dE2n-1)H(E)|E-μ (20)

який називається розкладом Зоммерфельда.

an- безрозмірна стала порядку одиниці.

Як правило, з всієї суми (20) залишають перший і (дуже рідко) другий члени. Вони мають наступний вигляд:

∫-∞,∞H(E)f(E)dE=∫-∞,∞H(E) dE+π2/6(kBT)2H'(μ)+7π4/360(kBT)4H'''(μ)+ O(kBT/μ)6 (21)

Щоб розрахувати питому теплоємність металу при температурах, малих порівняно з TF, скористуємося розкладом Зоммерфельда (21) і застосуємо його до інтегралів (17) і (18) для густини енергії і густини числа електронів:

U=∫0,μEg(E)dE+ π2/6(kBT)2[μg'(μ)+g(μ)+ O(T)4 ] (22)

n=∫0,μg(E)dE+ π2/6(kBT)2g'(μ)+ O(T)4 (23)

З виразу (23) слідує, що μ відрізняється від свого значення EF при T=0 лише на величину порядку T2. Тому з точністю до T2 можна записати

∫0,μH(E)dE=∫0,EFH(E)dE+(μ-EF)H(EF) (24)

Аналогічним чином у виразах(22) і (23) отримаємо

U=∫0,EFEg(E)dE+ EF ((μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g'(EF))+ π2/6(kBT)2g(EF) + O(T)4 (25)

n=∫0,EFg(E)dE+((μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g'(EF))+ O(T)4 (26)

Перші члени в правих частинах, незалежні від температури, являють значення u і nдля основного стану. Оскільки ми розраховуємо питому теплоємність при постійній густині, то величина n не залежить від температури і вираз (26) зводиться до співвідношення:

0=(μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g'(EF) (27)

яке визначає відхилення хімічного потенціалуμ відEF

μ= EF- π2/6(kBT)2g'(EF) /g(EF) (28)

Оскільки для вільних електронів густина рівнів g(E) пропорційна E1/2 (див. (14)), отримаємо

μ= EF(1-1/3(πkBT/2EF)2) (29)

тобто, зміна μ має порядок T2 і складає близько 0,01% навіть при кімнатних температурах.

Враховуючи (27) член в фігурних дужках у виразі (25) перетворюється в нуль, тому вираз для густини теплової енергії при постійній густині електронів набуває більш простої форми

u=u0+ π2/6(kBT)2g(EF) (30)

де u0- густина енергії в основному стані.

Отже, питома теплоємність електронного газу:

1 2 3 4 5