| Назва: | Термодинамічні властив |
| Тип: | Реферати |
| Мова: | Українська |
| Розмiр: | 13,79 KB |
| Скачувань: | 14 |
cv=(∂U/∂T)n=π2k2Tg(EF)/3 (31)
і для вільних електронів (див.(16)) маємо
cv=(π2/2)(kBT/EF)nkB (32)
Порівнюючи цей вираз із класичним результатом для ідеального газу (cv=3/2•kB), ми бачимо, що статистика Фермі-Дірака приводить до пониження питомої теплоємності за рахунок множника (π2/3)(kBT/EF), який пропорційний температурі і має порядок 10-2 Цим пояснюється відсутність спостерігаю чого вкладу електронних ступенів вільності в питому теплоємність металу при кімнатній температурі.
Для грубих обрахунків питомої теплоємності досить проаналізувати залежність від температури функції Фермі.
Передбачення лінійного вкладу в питому теплоємність являє собою одне з важливих наслідків статистики Фермі-Дірака. Воно дозволяє ще раз провірити теорію електронного газу в металах, при умові, що ступені вільності відмінні від електронних, не дають порівняльного або великого вкладу. В дійсності виявляється, що при високих температурах основний вклад в теплоємність вносять інші ступені вільності. Але при температурах набагато нижчих від кімнатної їх вклад падає пропорційно кубу температури і при дуже низьких температурах стає нижче електронного, який зменшується лінійно з температурою Т. Щоб розділити ці два вклади, зазвичай будують криву залежності cv/T від T2. Дійсно, при врахуванні електронного і іонного вкладів теплоємність при низьких температурах становить
cv=γT+AT3 (33)
тоді
cv/T=γ+AT2 (34)
Тому можна знайти γ.
Значення питомої теплоємності вказують в Дж/мольК.
Щоб знайти теплоємність одного моля c, необхідно помножити віднесену до одиниці об'єму питому теплоємність cv на ZNA/n
c= π2ZRkBTg(EF)/3n (35)
де
R=kBNA=8,314 Дж/моль К
Використовуючи вираз (16) для густини рівнів вільних електронів і вичислене вище значення EF/kB, отримаємо, що вклад вільних електронів в теплоємність одного моля дорівнює c=γT, де
γ= π2ZR/2TF=0,169Z(rS /a0)210-4 калмоль-1 К-2 (36).
6. Зоммерфельдівська теорія провідності в металах.
Щоб знайти розподіл по швидкостях для електронів у металі розглянемо малий елемент об'єму dk, поблизу точки k в k-просторі. З врахуванням дворазового спінового виродження число одно електронних рівнів в цьому елементі об'єму дорівнює
(V/4π3)dk (37)
Ймовірність заповнення кожного рівня є f(E(k)), тому повне число електронів в елементі об'єму k-простору дорівнює
Vf(E(k))dk/4π3 , E(k)=ħ2k2/2m (38)
Оскільки швидкість вільного електрона з хвильовим вектором k дорівнює v=ħk/m, то число електронів в елементі об'єму dv поблизу v співпадає з числом електронів в об'ємі dk=(m/ħ)3dV поблизу точки k=mv/ħ. Отже, повне число електронів в розрахунку на одиницю об'єму в реальному просторі, що містяться в елементі простору dv швидкостей поблизу v, дорівнює
f(v)dv (39),
де
f(v)=((m/ħ)3/4π3)(1/(exp((mv2/2-μ)/kBT)+1)) (40)
Зоммерфельд заново розглянув модель Друде і замінив всюди класичний розподіл по швидкостях Максвела-Больцмана на розподіл Фермі-Дірака.
Класичне описання руху електрона можливе в тому випадку, коли його координати і імпульс можуть бути виміряні з необхідною точністю без порушення принципу невизначеності.
Типовий електрон в металі має імпульс порядку ħkF, тому, щоб класичний опис був хороший, невизначеність імпульсу електрона Δp повинна бути малою порівняно з ħkF. Оскільки із формули
kF=(9π/4)1/3/rS=1,92/rS
слідує, що kF пропорційне 1/rS, невизначеність повинна задовольняти умову:
∆x ~ ħ/∆p >> (1/kF) ~ rS (41)
де rS має порядок середньої відстані між електронами, тобто декілька ангстрем. Тому класичний опис неможливий, коли розглядаються електрони, які локалізовані на відстанях порядку міжатомних. Але електрони провідності в металах не прив'язані до конкретного іона, а вільно рухаються по об'єму металу. В більшості випадків немає необхідності, в макроскопічних прикладах, задавати їх координати з точністю до 10-8см. В моделі Друде знання координат електрона важливо в двох відношеннях:
1) коли до металу прикладене змінне електромагнітне поле або градієнт температури, ми повинні вказати координати електрона з точністю до відстаней, малих порівняно з характерним масштабом λ, на якій міняється поле або градієнт температури.
2) В моделі Друде передбачається, що електрони можуть перебувати на відстанях набагато менших від довжини вільного пробігу. Тому слід розглядати електрони з довжиною вільного пробігу >10 ангстрем.
Існує широкий клас явищ, коли поведінку окремого електрона можна описати з допомогою класичної механіки. Але чи можна описати так поведінку N таких електронів.
і для вільних електронів (див.(16)) маємо
cv=(π2/2)(kBT/EF)nkB (32)
Порівнюючи цей вираз із класичним результатом для ідеального газу (cv=3/2•kB), ми бачимо, що статистика Фермі-Дірака приводить до пониження питомої теплоємності за рахунок множника (π2/3)(kBT/EF), який пропорційний температурі і має порядок 10-2 Цим пояснюється відсутність спостерігаю чого вкладу електронних ступенів вільності в питому теплоємність металу при кімнатній температурі.
Для грубих обрахунків питомої теплоємності досить проаналізувати залежність від температури функції Фермі.
Передбачення лінійного вкладу в питому теплоємність являє собою одне з важливих наслідків статистики Фермі-Дірака. Воно дозволяє ще раз провірити теорію електронного газу в металах, при умові, що ступені вільності відмінні від електронних, не дають порівняльного або великого вкладу. В дійсності виявляється, що при високих температурах основний вклад в теплоємність вносять інші ступені вільності. Але при температурах набагато нижчих від кімнатної їх вклад падає пропорційно кубу температури і при дуже низьких температурах стає нижче електронного, який зменшується лінійно з температурою Т. Щоб розділити ці два вклади, зазвичай будують криву залежності cv/T від T2. Дійсно, при врахуванні електронного і іонного вкладів теплоємність при низьких температурах становить
cv=γT+AT3 (33)
тоді
cv/T=γ+AT2 (34)
Тому можна знайти γ.
Значення питомої теплоємності вказують в Дж/мольК.
Щоб знайти теплоємність одного моля c, необхідно помножити віднесену до одиниці об'єму питому теплоємність cv на ZNA/n
c= π2ZRkBTg(EF)/3n (35)
де
R=kBNA=8,314 Дж/моль К
Використовуючи вираз (16) для густини рівнів вільних електронів і вичислене вище значення EF/kB, отримаємо, що вклад вільних електронів в теплоємність одного моля дорівнює c=γT, де
γ= π2ZR/2TF=0,169Z(rS /a0)210-4 калмоль-1 К-2 (36).
6. Зоммерфельдівська теорія провідності в металах.
Щоб знайти розподіл по швидкостях для електронів у металі розглянемо малий елемент об'єму dk, поблизу точки k в k-просторі. З врахуванням дворазового спінового виродження число одно електронних рівнів в цьому елементі об'єму дорівнює
(V/4π3)dk (37)
Ймовірність заповнення кожного рівня є f(E(k)), тому повне число електронів в елементі об'єму k-простору дорівнює
Vf(E(k))dk/4π3 , E(k)=ħ2k2/2m (38)
Оскільки швидкість вільного електрона з хвильовим вектором k дорівнює v=ħk/m, то число електронів в елементі об'єму dv поблизу v співпадає з числом електронів в об'ємі dk=(m/ħ)3dV поблизу точки k=mv/ħ. Отже, повне число електронів в розрахунку на одиницю об'єму в реальному просторі, що містяться в елементі простору dv швидкостей поблизу v, дорівнює
f(v)dv (39),
де
f(v)=((m/ħ)3/4π3)(1/(exp((mv2/2-μ)/kBT)+1)) (40)
Зоммерфельд заново розглянув модель Друде і замінив всюди класичний розподіл по швидкостях Максвела-Больцмана на розподіл Фермі-Дірака.
Класичне описання руху електрона можливе в тому випадку, коли його координати і імпульс можуть бути виміряні з необхідною точністю без порушення принципу невизначеності.
Типовий електрон в металі має імпульс порядку ħkF, тому, щоб класичний опис був хороший, невизначеність імпульсу електрона Δp повинна бути малою порівняно з ħkF. Оскільки із формули
kF=(9π/4)1/3/rS=1,92/rS
слідує, що kF пропорційне 1/rS, невизначеність повинна задовольняти умову:
∆x ~ ħ/∆p >> (1/kF) ~ rS (41)
де rS має порядок середньої відстані між електронами, тобто декілька ангстрем. Тому класичний опис неможливий, коли розглядаються електрони, які локалізовані на відстанях порядку міжатомних. Але електрони провідності в металах не прив'язані до конкретного іона, а вільно рухаються по об'єму металу. В більшості випадків немає необхідності, в макроскопічних прикладах, задавати їх координати з точністю до 10-8см. В моделі Друде знання координат електрона важливо в двох відношеннях:
1) коли до металу прикладене змінне електромагнітне поле або градієнт температури, ми повинні вказати координати електрона з точністю до відстаней, малих порівняно з характерним масштабом λ, на якій міняється поле або градієнт температури.
2) В моделі Друде передбачається, що електрони можуть перебувати на відстанях набагато менших від довжини вільного пробігу. Тому слід розглядати електрони з довжиною вільного пробігу >10 ангстрем.
Існує широкий клас явищ, коли поведінку окремого електрона можна описати з допомогою класичної механіки. Але чи можна описати так поведінку N таких електронів.