Головна Головна -> Реферати українською -> Економічні теми -> Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки

Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки

Назва:
Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
5,75 KB
Завантажень:
403
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4 
Реферат на тему:
Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки


Диференціальні рівняння використовують у економічних моделях, що відображують зміну і взаємозв'язок економічних показників у часі.
1. Модель Еванса встановлення рівноважної ціни.
У цій моделі розглядають ринок одного товару, неперервно залежний від часу. Нехай Q(t), S(t), P(t) - відповідно попит, пропозиція і ціна цього товару у момент часу t. Будемо вважати, що і попит, і пропозиція лінійні функції від ціни, тобто Q(t) = a-bP(t), a,b>0 (із зростанням ціни попит спадає), S(t) =б-вP(f), б,в>0 (із зростанням ціни пропозиція зростає), причому а>б (для нульової ціни попит перевищує пропозицію, тобто товар бажаний споживачу).
Головним припущенням є те, що збільшення ціни Др прямо пропорційне перевищенню попиту над пропозицією за час Дt, тобто
де г>0, або
Підставивши у це рівняння лінійні залежності попиту і пропозиції від ціни, одержимо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з початковою умовою:
Розв'язавши рівняння, маємо:
звідки
де
Точка > 0 є стаціонарною: , бо для P0<P*
Ціна прямує до Р*, зростаючи, а для Р0>Р* ціна, спадаючи, теж прямує до Р*. Сама ціна Р* є рівноважна ціна - для неї Q(P*) = S(P*). Рівноважну ціну можна також знайти графічно.
2. Модель росту (зростання для постійного темпу приросту).
Нехай Q = Q(t) - обсяг продукції деякої галузі (підприємства), виробленої за час t. Будемо вважати, що ринок ненасичений, тобто вся продукція буде реалізована, причому за деякою фіксованою ціною Р. Тоді на момент часу t галузь отримає дохід PQ(t). Нехай I = I(t) -величина чистих інвестицій, тобто засобів, направлених на розширення виробництва (чисті інвестиції - це різниця між загальним обсягом інвестицій і амортизаційними витратами).
Якщо т (0<m<l) - норма інвестицій, тобто частина доходу P?Q(t), направлена на розширення виробництва, то
I(t)= m?p?Q(t). (8.1)
Для збільшення інтенсивності випуску продукції необхідно, щоб чисті інвестиції I = I(t) були більше нуля. У випадку І(і) = 0 загальні інвестиції лише покривають амортизаційні витрати і рівень випуску продукції залишається незмінним. Випадок I(t)<0 веде до зменшення основних фондів, що призводить до зменшення рівня випуску продукції. Таким чином, швидкість збільшення випуску продукції (Q'(t)) є зростаючою функцією від I (бо I(t)>0).
Припустимо, що ця залежність прямо пропорційна, тобто має місце так званий принцип акселерації:
Q’(t) = l?I(t) (l = const), (8.2)
де - норма акселерації.
Підстановкою у формулу (8.2) значення I з формули (8.1), одержимо:
Q’(t)=l?m?P?Q(t).
або
Q' = kQ, де k = lmP. (8.3)
Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Знайдемо його загальний розв'язок:
Якщо у початковий момент часу г0 обсяг продукції становить Q0, то
звідки
Отже, частинний розв'язок рівняння (8.3)
(8.4)
Рівняння (8.4) називають рівнянням росту. Цим рівнянням можна описати також динаміку зміни цін для постійного темпу інфляції, процеси радіоактивного розпаду, розмноження бактерій тощо.
3. Модель росту в умовах конкуренції.
Розглянемо більш загальний випадок. Нехай ціна Р = P(Q) – спадна функція тобто із збільшенням випуску продукції відбувається насичення ринку і ціна спадає. Тоді з формул (8.1), (8.2) одержимо рівняння:
Q'(t) = l?m?P(Q)-Q(t),
або
Q’=б Р(Q)?Q, де б = lт. (8.5)
Оскільки всі множники у правій частині цього рівняння додатні, Q’>0, тобто функція Q зростає. Характер зростання функції Q(t) (опуклість) визначається знаком другої похідної:
де - еластичність попиту. Розглянемо два випадки:
I. Попит еластичний, тобто Тоді Q">0 і функція Q опукла вниз. Це означає прискорення зростання обсягу продукції.
II. Нееластичний попит Тоді Q"<0 і функція Q - опукла вгору, що означає уповільнення росту обсягу продукції (насиченість ринку). У найпростішому випадку, коли залежність Р = P(Q) лінійна, тобто
P(Q) = a–bQ, а>0, b>0,
рівняння (8.5) матиме вигляд:
Q' = б (a-bQ)-Q. (8.6)
Розв'яжемо це рівняння:
(8.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4 



Реферат на тему: Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок