Головна Головна -> Реферати українською -> Економічні теми -> Системи лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь

Назва:
Системи лінійних рівнянь
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
6,53 KB
Завантажень:
261
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4 
Реферат на тему:
Системи лінійних рівнянь


Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді
АХ В, (3.32)
де
 
Матриця А є квадратною порядку n; вектор-стовпець Х має розмір n  ; вектор-стовпець В — порядок n  .
Якщо матриця А невироджена, тобто rgA n і , то система лінійних рівнянь (3.32) має єдиний розв’язок виду
(3.33)
Приклад 3.5. Знайти розв’язок системи
У матричному виді:
AX = B;
 
отже,
.
= –2 – 15 = –17 — матриця невироджена.
Запам’ятайте: для матриці обернена матриця має вигляд .
.
Отже,
Розв’язок системи: = ; = .
Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь:
АХ = 0 (3.34)
Нехай А — квадратна матриця n-го порядку; Х — вектор-стовпець розміру n  1.
Тривіальний розв’язок має вигляд: . Нетривіальний розв’язок може існувати лише за умови, що визначник матриці А дорівнює нулю:
Коли це так, то система матиме безліч розв’язків. Їх можна нормувати, вимагаючи, наприклад, щоб виконувалася рівність
(3.35)
Приклад 3.6. Знайти нетривіальні розв’язки однорідної системи рівнянь.
(3.36)
 
, це означає, що задана система має нетривіальні розв’язки.
Матрицю А можна записати як систему трьох векторів:
 
Систему (3.36) подамо як лінійну комбінацію вектора :
(3.37)
Неважко побачити, що ; розв’язками системи (3.36) будуть і ці самі значення, помножені на будь-які числа, які задовольняють рівняння (3.37). Отже, система векторів є лінійно залежною, причому розв’язки системи лінійних рівнянь (3.36) є коефіцієнтами лінійної комбінації вектора :
(3.38)
Характеристичні (власні) корені
і власні вектори матриць
Розглянемо систему рівнянь
(3.39)
де — скаляр; А — квадратна матриця порядку n, X — розміром n  .
Систему (3.39) запишемо у вигляді
або
(3.40)
Остання система n рівнянь з n невідомими має нетривіальний розв’язок, коли
або (3.41)
Означення 3.21. Рівняння відносно називають характеристичним рівнянням матриці А.
Корені цього рівняння є характеристичними коренями (характе-ристичними числами, власними значеннями) матриці А.
Візьмемо будь-який корінь характеристичного рівняння (3.41) і підставимо в систему рівнянь (3.40). Дістанемо рівняння
(3.42)
яке має нетривіальний розв’язок, оскільки .
Нехай цим розв’язком є вектор . Такий вектор є характеристичним, або власним, вектором матриці А, який відповідає характеристичному кореню .
Якщо матриця А має n різних характеристичних коренів, то припускатимемо, що вона має і n різних власних векторів (задачі, які мають кратні характеристичні корені, в економіці зустрічаються рідко).
Власні вектори визначаються з точністю до множення на скаляр. Це не завжди зручно. Тому часто розглядають нормовані власні вектори, тобто такі що:
.
Зауважимо, що коли матриця А в рівнянні (3.40) — симетрична (тобто ), а Х — матриця, кожний стовпець якої є власним вектором цієї матриці, то добуток
(3.43)
Отже, якщо власні вектори матриці А розміщені у вигляді стовпців матриці Х, то добуток перетворює матрицю А на діагональну матрицю, яка має характеристичні корені на головній діагоналі.
Приклад 3.7. Знайти характеристичні корені матриці А.
Запишемо рівняння або
 
(3.44)
Запишемо характеристичне рівняння для системи (3.44):
(3.45)
Отже,
. (3.46)
Нехай матриця А — симетрична, тоді і характеристичні корені цієї матриці
. (3.47)
Підставивши поступово в систему (3.44), знайдемо власні вектори X1, X2 матриці А.
Приклад 3.8. Знайти характеристичні корені і власні вектори X1, X2 матриці А:
.
Матриця А симетрична. Для визначення застосуємо (3.47):
Щоб знайти власні вектори i , розв’яжемо для кожного систему рівнянь (3.44).
Нехай, тоді
(3.48)
Нормалізуємо вектор , зводячи його довжину до 1, тобто:
(3.49)
Підставимо (3.48) в (3.49):
 
Звідси,
Власний вектор
(3.50)
Для знаходження власного вектора покладемо .
Система (3.44) запишеться у вигляді
(3.51)
Нормалізуємо вектор , звівши його довжину до 1, тобто:
(3.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4 



Реферат на тему: Системи лінійних рівнянь

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок