Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> диференціювання функції

диференціювання функції

Назва:
диференціювання функції
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
76,05 KB
Завантажень:
124
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Розділ: Диференціальне числення функцій змінної.

Тема: Теорема про диференціювання функцій.

І. Навчальна мета: засвоїти студентам геометричне застосування визначених інтегралів.

ІІ. Між предметна інтеграція: математика.

ІІІ. Зміст:

1. Опрацювати навчальний матеріал.

2. Дати відповіді на питання.

3. Опрацювати приклади.

ІV. План.

1. Формула Тейлора.

V. Контрольні питання:

1. Вивести формулу Тейлора. Способом інтегральних сум вивести формулу для обчислення площі поверхні обертання.

2. Вивести формулу Тейлора для функції при х0=1, n=3.

VI. Використана література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. “Математика для Економістів” Вища математика. К.: Наукова Академія Управління,

Формула Тейлора

Розглянемо одну з основних формул математичного аналізу, так звану формулу Тейлора, яка широко застосовується як в самому аналізі, так і в суміжних дисциплінах. Зупинимося лише на трьох застосуваннях.

В п. 3.3 ми бачили, що заміна приросту функції ЇЇ диференціалом дає змогу утворювати різні наближені формули. Виявляється, що ці формули можна уточнити, якщо застосувати диференціали вищих порядків: про це і йдеться у формулі Тейлора.

Формула Тейлора дає змогу розробити простий аналітичний апарат для обчислення значень функції у = f (x), які відповідають заданим значенням незалежної змінної х. Зрозуміло, що в тих випадках, коли функція задається формулою виду , значення обчислюється лише за допомогою чотирьох арифметичних дій. Але як знайти, наприклад, значення функції Очевидно, цю задачу найпростіше можна «розв'язати» за допомогою калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання проте, які він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.

Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функцію многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на ЕОМ.

Ще одне практичне застосування цієї формули пов'язане з обробкою числових експериментальних даних. Якщо в результаті експерименту одержано масив значень (xі; уі), то спочатку будують графік залежності у = (х), а потім цю залежність описують аналітичне, причому, як правило, у вигляді многочлена.

Обгрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.

Теорема. Нехай функція f (х) має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (n + 1)-го порядку включно, і нехай х — довільне значення аргументу із вказаного околу (х х0). Тоді між точками х0 і х знайдеться така точка с, що справедлива формула

О Позначимо многочлен, то стоїть у правій частині формули

Його називають многочленом Тейлора степеня n для функції (х). Різницю між функціями (х) і (х, x0) позначимо через Rn (х):

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що

де точка С лежить між точками х0 і x;.

Зафіксуємо довільне значення х > x0 із вказаного околу. Позначимо через t величину, що змінюється на відрізку [х0;х], тобто х0 t х, і розглянемо функцію

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому знайдеться точка с (х0; х) для якої

F'(c) = 0.

Якщо в функцію (4) підставити значення функції (х, t) з формули (3) і результат продиференціювати по t, то знайдемо

Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо

Розв'язуючи це рівняння відносно Rn(x), дістанемо формулу (3).

Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rn(х) — залишковим членом у формі Лагранжа. Величина Rn(х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію (х) її многочленом Тейлора (2).

При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rn(х) при х х0 і фіксованому n, а також при n .

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:

(7)

де точка с знаходиться між 0 i x (с = х, 0 < 0 < 1).

Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х — х0 = х, х = х0 + х:

Оскільки , то формулу (8) можна записати у вигляді

Покажемо, що коли функція (х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rn(x) при х x0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х- x0)n:

тому що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини або з точністю до величини

Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rn(х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене зображення функції (х).

Многочлени Тейлора дають найкраще наближення функції (х) у вигляді многочлена даного степеня поблизу точки х0. Це треба розуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня, які збігаються з функцією при х = х0, лише для многочлена Тейлора величина |Rn(х)| виявляється найменшою.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: диференціювання функції

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок