Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)

Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)

Назва:
Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
88,61 KB
Завантажень:
331
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Приклад 1.

1). Нехай загальний член ряду. Записати п’ять перших ленів ряду.

Розв’язання.

При п=1 маємо

При п=2 дістаємо Аналогічно

2). Записати можливий загальний член ряду

Розв’язання.

Чисельники дробів утворюють арифметичну прогресію 1,4,7 її п-й член знайдемо за формулою , де Отже,

Знаменники дробів утворюють геометричну прогресію 3, 32, 33, п-й член якої Отже,

Приклад 2. Чи збігаються такі ряди:

Розв’язання .

Оскільки для кожного даного ряду , то ці ряди розбігаються.

Приклад 3. Дослідити на збіжність і знайти суми рядів:

Розв’язання.

а). Оскільки ап можна подати у вигляді то часткову суму Sп ряду можна записати так:

Тоді сума і ряд збігається.

б). У даному випадку

Тоді , ряд має суму , а тому збігається.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

Через те, що суму n перших членів даного ряду можна записати

Після зведення подібних дістанемо

Як бачимо, ряд збіжностей і його сума дорівнює 1.

Приклад 5. Дано числовий ряд Знайти суму Sn – його п членів і суму ряду S.

Розв’язання.

Розкладемо загальний член ряду на суму найпростіших дробів:

Знайдемо часткову суму ряду

Для визначення суми ряду знайдемо границю

Відповідь:

Приклад 6. Дослідити збіжність числового ряду

Розв’язання.

Необхідна умова виконується.

Заданий ряд – геометричний, зі знаменником а значить збігається.

Відповідь: ряд збігається.

Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

Це числовий ряд. Перевіримо, чи виконується необхідна умова збіжності. Для цього запишемо загальний член ряду і знайдемо його границю.

Оскільки , то наслідком з необхідної умови збіжності ряд розбігається.

Відповідь: ряд розбігається.

Приклад 8. Дослідити на збіжність ряд , використовуючи необхідну умову збіжності.

Розв’язування.

Для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності ряду.

Дійсно,

і, значить

Таким чином, даний ряд збігається.

Приклад 9. Дано загальний член ряду:

Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності ряду.

Розв’язання.

а). Знаходимо

Тому, що то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.

б). Знаходимо

Записуємо ряд:

Необхідна ознака збіжності виконується, бо

Проте зробити висновок про збіжність ряду в даному випадку неможливо. Для встановлення збіжності ряду треба перевірити чи виконуються достатні умови збіжності.

Приклад 10. Дослідимо на збіжність ряд

Розв’язання.

Загальний член цього ряду має вигляд

і , тому ряди з загальними членами і збігаються і

А тому, вихідний ряд збігається, як сума збіжних рядів і

Приклад 11. Дослідити на збіжність числовий ряд користуючись означенням збіжності ряду.

Розв’язання .

Для визначення збіжності будь-якого ряду треба знайти часткову зрізану суму Sп , яка в нашому випадку становить

де загальний член часткової суми

Ряд збігається і ця границя дорівнює кінцевій величині. Для відшкодування lim Sп перетворимо загальний член ап , розглядаючи його як раціональний дріб від числа п, а 0, -1, -2, - як корені цілої раціональної функції, що міститься в знаменнику, тобто де А, В, С – визначені коефіцієнти. Маємо

Вираз запишемо у вигляді

Звільнившись від дужок, знаходимо, що доданки, які стоять на парних і непарних місцях, взаємо знищуються. Залишається лише перший доданок і останнє

Переходячи до границі, маємо:

Відповідь: ряд збігається і його сума

Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди:

Розв’язання.

а). Ряд із загальним членом (-1)п-1 не є збіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності ряду.

б). Ряд є збіжним, тому що його п-й залишок при оскільки

Тому при

в). Ряд можна розглядати, як різницю двох геометричних рядів і суми якиїх відповідно дорівнюють:

Тому, враховуючи, що при маємо

тобто сума заданого ряду дорівнює

Завантажити цю роботу безкоштовно



Реферат на тему: Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок