Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Лінійна алгебра. Матриці та вектори

Лінійна алгебра. Матриці та вектори

Назва:
Лінійна алгебра. Матриці та вектори
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
42,58 KB
Завантажень:
137
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Означення. Матрицею розміром n×m називається прямокутна таблиця чисел

Означення. Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для всіх значень i та j).

Означення. Сумою двох матриць A=(aij) та B=(bij) з однаковою кількістю рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де

cij=aij+bij (i=1,…,m; j=1,…,n). (1.1)

Означення. Добутком матриці A=(aij) на число k називається матриця B=kA вигляду B=kA=(ij).

Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).

Означення. Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо

тобто ця матриця має вигляд

Означення. Матриця O називається нульовою, якщо всі її елементи є нулями: .

Означення. Добутком матриці на матрицю називається матриця , елементи якої обчислюються за формулою

(1.2)

Приклади.

Зазначимо, що в останньому прикладі АВ ВА .

Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:

ЕА = АЕ = А (властивість множення на одиничну матрицю);

ОА = АО = О (властивість множення на нульову матрицю);

kO = Ok = O A+O = O+A =A;

(A) = ()A; (A) = A();

A+B = B+A (комутативна властивість додавання);

A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);

()A = A+A;

(AB) =(A)B;

(A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB.

Означення. Матрицею AT, транспонованою до матриці, називається матриця.

Виконуються такі властивості:

(AB)T = BTAT;

(A+B)T = AT+BT;

(AT)T = A.

Частковим випадком матриці є вектор (упорядкована послідовність чисел). Розрізняють вектор-рядок (матрицю-рядок) та вектор- стовпець (матрицю-стовпець) .

Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення матриць:

Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1, d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:

Вироби Кількість вузлів Вузли Кількість деталей

v1 v2 d1 d2 d3

W1 2 3 v1 2 1 0

W2 1 4 v2 1 0 3

Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із виробів W1 та W2.

На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей облислюється як добуток матриць

Отриманий результат такий:

Вироби Кількість деталей

d1 d2 d3

W1 7 2 9

W2 6 1 12

Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.

Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:

Таблиця A

Виріб Затрати робочого часу на робочих місцях, год.

1 2 3 4

W1 0,8 2,1 1,2 3,0

W2 1,3 0,5 2,8 0,2

W3 1,1 1,0 2,5 1,8

Таблиця B

Замовлення Кількість виробів

W1 W2 W3

Z1 5 7 3

Z2 4 0 2

Z3 6 2 1

Таблиця C

Робоче місце Погодинна заробітна плата, грн.

1 1,30

2 1,25

3 1,40

4 1.45

Помноживши матрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих місцях щодо кожного замовлення:

Замовлення Затрати робочого часу на робочих місцях, год.

1 2 3 4

Z1 16,4 17 33,1 21,8

Z2 5,4 10,4 9,8 15,6

Z3 8,5 14,6 15,3 20,2

Справді.

Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:

Замовлення Витрати на зарплату

Z1 120,52

Z2 56,36

Z3 80,01

Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:

Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на рисунку 1.1 :

Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.

Побудуємо відповідні матриці.

Матриця входжень деталей у комплектуючих: . Тут рядки відповідають деталям, а стовпці комплектуючим.

Безпосереднє входження деталей у виробі – це вектор , а входження комплектуючих у виробі – вектор .

Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою

Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D1 та 42 деталі D2 .

Означення. Нехай A=(aij)i=1,…,n;j=1,…,n квадратна матриця. Оберненою до неї матрицею A-1 називається матриця, для якої має місце

AA-1=A-1A=E .

Якщо обернена до A матриця існує, то (A-1)-1=A.

Приклад.

За допомогою оберненої матриці можна розв’язувати системи лінійних рівнянь, оскільки запис

є рівнозначний до запису

Розв’язок системи знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену матрицю A-1 :

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Лінійна алгебра. Матриці та вектори

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок