Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Числові та степеневі ряди

Числові та степеневі ряди

Назва:
Числові та степеневі ряди
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
39,47 KB
Завантажень:
283
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
ПЛАН

1. Числові ряди.

2. Степеневі ряди.

1. Числові ряди

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {an}=a1,a2,…,an,

Тоді вираз a1+a2+…+an+…=

називають числовим рядом, а доданок an - загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S1=a1 ;

S2=a1+a2 ;

Sn=a1+a2+…+an ;

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду

Приклади.

1. Ряд є збіжним. Його сума дорівнює 1, оскільки згідно з формулою суми геометричної прогресії .

2. Ряд є розбіжним, оскільки можна довести, що для будь-якого числа A знайдеться такий номер N , що .

3. Нехай у деякій закритій економіці частка національного продукту, яку витрачають на споживання, становить b, а частка, яку вкладають в інвестування 1-b . Нехай початкові інвестиції дорівнюють I. Тоді згідно з теорією Кейнса споживання спричинить нові інвестиції у розмірі bI . На наступному етапі матимемо інвестиції в розмірі b2I і так далі. В перспективі національний доход становитиме Y=I+bI+b2I+…= . Коефіцієнт називають мультиплікатором.

Властивості збіжних рядів

Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля ( ).

Теорема 2. Якщо ряд збігається, то для будь-якого значення m2 збігається ряд і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів

Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) та. Нехай для всіх значень індексу i виконується aibi . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду.

Теорема 4 (ознака Д’Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами існує границя.Тоді при l1 розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Знаходимо границю

Ряд збігається.

Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо, то ряд є збіжним.

Приклад. Ряд збігається, бо.

Для обчислення цього ряду, наприклад, з точністю до 0.01 потрібно, щоб , тобто , звідки . Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

Абсолютна збіжність рядів

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , та умовно збіжним, якщо збігається ряд , а ряд розбігається.

Приклади.

1. Ряд є умовно збіжним, оскільки ряд розбігається.

2. Ряд є абсолютно збіжним.

2. Степеневі ряди

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…

Приклади.

1. Степеневий ряд 1+x+x2+…+xn+… Тут усі cn=1.

2. Степеневий ряд 1-2x+3x2-4x3+5x4- Тут cn (-1)n(n+1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших – розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Числові та степеневі ряди

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок