Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Диференціальні рівняння. Задача Коші

Диференціальні рівняння. Задача Коші

Назва:
Диференціальні рівняння. Задача Коші
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
56,82 KB
Завантажень:
524
Оцінка:
 
поточна оцінка 4.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
ПЛАН

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними

змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння.

3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними

змінними

Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються диференціальними рівняннями.

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних порядків:

F(x,y,y,y,…)=0

Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.

Приклади.

1. Диференціальне рівняння другого порядку y+2y-3y=x2+1 .

2. Диференціальне рівняння третього порядку y=cos(x).

Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.

Приклади.

1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y=3x2 є функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…

Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C - довільна стала.

2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y=sin(x) є сім’я функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 - довільні сталі. Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10, y= sin(x)+2x+1 тощо.

Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних), наприклад:

ux(x,y)+uy(x,y)=2u(x,y)+x+y

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна y(x):

F(x,y,y)=0

Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

f1(x)2(y)dx+f2(x)1(y)dy=0

називається рівнянням з розділеними змінними.

Приклади.

1. Розв’язати диференціальне рівняння.

Виконуємо ділення на вираз, розділивши тим самим змінні:

Почленно інтегруємо:

застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2) та

1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):

Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією.

2. Розв’язати диференціальне рівняння y=7x+y .

Розділяємо змінні:

Інтегруємо праву та ліву частини:

Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо:

-7y=7x+C .

Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C)

7y+7x=C .

3.Розв’язати диференціальне рівняння

arctgy=arctgx+C .

Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:

arctgy=arctgx+arctgC.

Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:

(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).

8.2. Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y=a(x)y=0

Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:

загальний розв’язок.

Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y+a(x)y=b(x)

Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді

Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння

Розв’язок однорідного рівняння y+2xy=0 має вигляд

Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

де C(x) функція від x.

Знайдемо похідну від цього виразу:

і підставимо відшукані значення y та y в початкове рівняння:

С(x)=2x ;

dC(x)=2xdx ;

C(x)=x2+C .

Отримуємо загальний розв’язок

Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy-y=3x2.

Загальним розв’язком однорідного рівняння є сім’я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від сталої C)

Знаходимо загальний розв’язок початкового рівняння у вигляді.

Підставляючи y та y в рівняння, маємо

Отже, загальний розв’язок неоднорідного рівняння є таким: .

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами – це рівняння вигляду

y + py + qy=0 ,

де p та q - сталі величини.

З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння

2+p+q=0

Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні дійсні корені 1 та 2 , загальний розв’язок диференціального рівняння такий:

де C1 та C2 - довільні сталі.

У випадку кратних дійсних коренів 1=2 характеристичного рівняння загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

Приклад. Розв’язати рівняння y+2y-15y=0.

Будуємо характеристичне рівняння 2+2-15=0, звідки 1=3; 2=-5.

Отже, загальний розв’язок є такий:

Приклад. Розв’язати рівняння y+2y+y=0.

Будуємо характеристичне рівняння 2+2+1=0, звідки 1=2=-1.

Отже, загальний розв’язок.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Диференціальні рівняння. Задача Коші

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок