Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

Назва:
Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
160,72 KB
Завантажень:
36
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Реферат на тему:

Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

Припустимо, що спостерігається вектор гільбертового простору вигляду

де L , функція є розв'язком рівняння

(1)

і - невідомі вектори з гільбертових просторів і відповідно, L , L - некорельовані випадкові величини зі значеннями у гільбертових просторах і відповідно, причому , а кореляційні оператори і невідомі, - білінійна форма, яка відповідає задачі (2).

Припустимо, що дані множини , яким належать вектори і випадкові величини відповідно.

Будемо шукати оцінки лінійних функціоналів

де , у вигляді

де - деяке число. При даній оцінці величина

являє собою максимальну середньоквадратичну похибку.

Нехай вектор та число знахотяться з умови

Означення 1. Величина називається мінімаксною оцінкою функціоналу , а вираз - мінімаксною похибкою оцінювання.

Нехай задається у вигляді

(2)

де L L . Тут через L позначено простір невід'ємних симетричних обмежених операторів, для яких існують обмежені обернені.

Припустимо далі, що множина обмежена у просторі і симетрична відносно нуля, тобто якщо , то . Покажемо тоді, що має місце

Твердження 1. Існує єдина мінімаксна оцінка, для якої , а може бути знайдене і умови

де , а функція знаходиться з розв'язку системи рівнянь

(3)

При цьому мінімаксна похибка оцінювання дорівнює

де

(4)

Покажемо спочатку, що має місце

Лема. Нехай - деякий гільбертів простір і L . Тоді має місце нерівність

(5)

причому знак рівності досягається лише при , де - довільне число.

Доведення. Оскільки оператор додатно визначений, то

Отже,

що можливо тоді і лише тоді, коли діскрімінант квадратного трьохчлена недодатний, тобто

і знак рівності досягається при .

Доведення твердження. Введемо функцію як розв'язок другого рівняння системи (3) при . Тоді при одержимо

Звідки

Значить,

Зауважимо далі, що оскільки множина симетрична відносно нуля, то

Звідки випливає, що .

Далі, з нерівності (5) випливає, що

і

причому знак рівності досягається у першому випадку при , а у другому випадку - при , де - некорельовані випадкові величини, . Звідки отримаєм, що

Оскільки функціонал опуклий напівнеперервний знизу як точна верхня межа таких функціоналів, то функціонал стого опуклий напівнеперервний знизу, і причому при . Із результатів §2 випливає, що існує єдиний вектор , на якому досягається мінімум функціоналу , який може бути знайдений із розв'язку варіаційної нерівності

де

Неважко показати, що .

Нехай множина має вигляд

(6)

де L L

Нехай також - канонічні ізоморфізми просторів і відповідно на спряжені. Покажемо тоді, що має місце

Теорема 1. Мінімаксна оцінка функціоналу зображується у вигляді

(7)

і при цьому мінімаксна похибка оцінювання , де , а і визначаються зі систем рівнянь (7), (8), якщо замінити оператор на , а на .

Доведення. Оскільки множина симетрична відносно нуля, то . Крім того, у даному випадку

Цей вигляд функціоналу отримується, якщо застосувати нерівність (5) до виразу

Тут знак рівності досягається на векторах

Враховуючи ці нерівності, одержуємо, що

Порівнюючи ці вирази з відповідними виразом, отриманим у теоремі 1, одержимо, що при вони співпадають. Отже, співпадають і оцінки, що і потрібно було показати.

Припустимо тепер, що множина має вигляд

(8)

де - обмежена симетрична відносно нуля множина у просторі .

Покажемо тоді, що справедливе

Твердження 2. Існує єдина мінімаксна оцінка, яка може бути зображена у вигляді

де вектор знаходиться з нерівності

(9)

де визначається з розв’язку системи рівнянь (3), а . При цьому мінімаксна похибка оцінювання дорівнює

Доведення. Розглянемо множину всіх оцінок зі скінченною похибкою оцінювання. Зрозуміло, що

Оскільки в тому випадку, коли , то

Тому має сенс розглядати лише оцінки, для яких . В силу симетричності одержимо, що . Зауважимо далі, що множина опукла і замкнена. Опуклість цієї множини випливає з рівності

де а - розв’язок другого рівняння системи (6.3) при . Далі, оскільки неперервний оператор і , то

Звідси одержуємо замкненість цієї множини.

Зауважимо, що при з твердження 1 випливає, що

Приймаючи до уваги результати § 2 і вигляд функціоналу , одержимо, що існує єдиний вектор , який знаходиться з нерівності (9), і відповідна похибка дорівнює , що і потрібно було показати.

Припустимо тепер, що множина має вигляд

(10)

де L , і образ простору при відображенні співпадає з усім простором , де - розв’язок рівняння . Покажемо тоді, що якщо ввести вектори як розв’язки систем рівнянь

(11)

(12)

то має місце наступна

Теорема 2. Мінімаксна оцінка функціоналу зображується у вигляді

і при цьому мінімаксна похибка оцінювання дорівнює

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок