Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ з математики

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ з математики

Назва:
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ з математики
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
74,58 KB
Завантажень:
101
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
1. Довести, що . Починаючи з якого n маємо

Виберемо довільне число і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність

(1)

Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:

.

Отже, якщо , то нерівність (1) виконується для будь-якого наперед заданого числа . Якщо , то за N беремо цілу частину виразу , тобто N = . А якщо , то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число.

Зокрема, при , N = . Отже, при дістанемо

2. З’ясувати, чи має границю послідовність (xn), якщо:

а) б)

в)

а) Оскільки то послідовність ( ) обмежена. Неважко бачити, що для всіх , тобто ( ) монотонно зростає. Отже, вона має границю.

б) Члени послідовності з парними номерами прямують до 1 при , оскільки . А члени послідовності з непарними номерами прямують до 2 при . Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є розбіжною.

в) Дана послідовність є добутком нескінченно малої послідовності , оскільки , і обмеженої послідовності , тому що . Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює 0.

3. Обчислити границі:

а) б)

в) г)

д) ; е)

є)

ж)

а) скористаємось теоремою про границю двох послідовностей. Неважко побачити, що границя першого доданка дорівнює 0, а другий доданок є добутком нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність , тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1( задана послідовність є нескінченно малою.

б) У даному випадку чисельник і знаменник мають нескінченні границі, тому користуватись теоремою про границю частки не можна. Перетворимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на (найвищий степінь n). Дістанемо

Оскільки маємо , , , , то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю частки маємо

в) Поділимо чисельник на знаменник дробу на , а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо

г) Аналогічно попередньому маємо

Оскільки при , а знаменник є нескінченно малою послідовністю, то задана послідовність є нескінченно великою, тобто

У прикладах б) - г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей.

д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей. Матимемо.

е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і скориставшись властивістю степеня, дістанемо

Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо

є) Оскільки , то

. Тоді

ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки

, то

Вправи для самоперевірки

1. Довести, що:

а) б) в)

2. Обчислити і визначити номер N ( ) такий, що при всіх , коли:

а) б)

Відповідь: а) ; б)

3. Зясувати, чи має границю послідовність , якщо:

а) ; б) ;

в)

Відповідь: а) так; б) так; в) ні.

4. Обчислити границі:

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9)

10) 11)

12) 13)

14) 15)

16) 17)

18)

Відповідь: 1) -2; 2) 0; 3) ; 4) 5) ; 6) 6; 7) 1; 8) 2;

9) ; 10) 3; 11) ; 12) 0; 13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

5. Обчислити суму всіх членів спадної геометричної прогресії 1,

Відповідь: S=3.

1. Знайти

Використовуючи теорему про границю добутку маємо:

Оскільки

аналогічно

Відповідь: - 9.

2. Знайти

.

3. Знайти

Завдання для перевірки знань

1. Довести, що при послідовність 3, має границею число 2.

2. Довести, що при послідовність має границею число 1,5.

Завантажити цю роботу безкоштовно



Реферат на тему: ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ з математики

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок