Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Назва:
Нескінченно малі та нескінченно великі величини
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
5,27 KB
Завантажень:
101
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно малою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто .

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами α,β,γ.

Наприклад, величина при є нескінченно малою.

Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є нескінченно малою, тобто якщо α=0, то нерівність |а|< виконується для будь-якого > О,

Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була (наприклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай задано k нескінченно малих величин α1, α2,...,αk. Доведемо, що їх алгебраїчна сума (α1 ± α2 ± ... ± αk) буде величиною нескінченно мстою. Візьмемо скільки завгодно мале > 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить такий момент, починаючи з якого будуть виконуватися нерівності:

Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:

|α1±α2+...±αk||α1| + |α2| + ... + |αk| 0. Тому, починаючи з деякого моменту, буде виконуватись нерівність

Ця нерівність означає, що у-а є величиною нескінченно малою, що і треба було довести.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Дійсно, постійні та нескінченне малі величини - обмежені величини, тому для них має місце твердження теореми 2.

Означений 2. Змінна величина х називається нескінченно великою, якщо а процесі її зміни наступиш такий момент, починаюча з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого додатного числа N, тобто >N.

Наприклад, величина 10n при є величина нескінченно великі.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то - нескінченно мала, і навпаки, якщо у - нескінченно мала і у0, то буде нескінченно великою величиною.

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою величиною.

Ділення нескінченно малих тa нескінченно великих величин поки що не визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної величини.

Границя змінної та її властивості

Із всієї множини змінних величин виділимо такі, процес зміни яких відбувається особливим чином, що дозволяє назвати їді величини прямуючими до границі.

Поняття границі

Означений 3. Постійна величина а називається границею змінної величини х, якщо абсолютна величина різниці х - а є величиною нескінченно малою, тобто |х - а| < ε.

Якщо число а є границею змінної х, то кажуть, що х прямує до границі а і позначають так: lim х = а або х→ а.

З цього означення границі випливає, що границя нескінченно малої величини дорівнює нулю, тобто lim α = 0 або а→0.

Нескінченно велика величина х границі не має, але умовно вважають, що границя нескінченно великої величини є ∞, тобто |х| → ∞ або lim x = ±∞.

Із означення 3 випливає: якщо в процесі своєї зміни змінна величина має границю, то лише одну, а сама змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину, тобто х = а + α. Саме цей факт в математичному аналізі часто використовується.

Тепер розглянемо границю різновидів змінної величини - послідовності та функції,

Означення 4. Число а називається границею послідовності х1, x2,..., хn якщо для будь-якого наперед заданого, скільки завгодно малого ε > 0 існує такий номер N, що для усіх n >N виконується нерівність .

Позначають границю послідовності так:

lіm хn = a або xn → а при n → ∞

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Нескінченно малі та нескінченно великі величини

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок