Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

Назва:
Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
6,71 KB
Завантажень:
198
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3 
Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

План

Основні теореми диференціального числення

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Теорема Коші

Правило Лопіталя

Формула Тейлора для многочлена

Формула Тейлора для довільної функції

Формула Тейлора для функції двох змінних

6.12. Основні теореми диференціального числення

У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.

6.12. 1. Теорема Ролля

Теорема. Нехай функція задовольняє умовам:

1) визначена і неперервна на відрізку :

2) диференційована в інтервалі ;

3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .

Д о в е д е н н я.

Випадок 1. Функція на відрізку є сталою:

.

Тоді , тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.

Випадок 2. Функція не є тотожною сталою на відрізку . Оскільки за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через , а найменше - через . Зрозуміло, що в розглянутому випадку .

Через те, що , то хоча б одне з чисел або досягається функцією всередині інтервалу . Нехай, наприклад, число досягається функцією всередині інтервалу , тобто існує хоча б одна точка, позначимо її , в якій

.

Покажемо, що .

Справді, оскільки є найменше значення функції на відрізку , то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх з деякого досить малого околу точки . Позначимо цей окіл через .

Тоді для всіх справджуватимуться нерівності

при ,

при .

Розглянемо відношення , для якого справедливі нерівності

при ,

при ,

причому .

Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли . Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній , тому

, .

Звідси випливає, що . Теорему доведено

З'ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис.6.9):

1) графік функції є суцільна лінія (- неперервна на відрізку);

2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);

3) крайні точки графіка знаходяться на однаковій висоті від .

6.12. 2. Теорема Лагранжа

Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку ; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність

. (6.73)

Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію

,

що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді, на відрізку є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу має похідну

;

.

Отже, існує точка в якій або, що саме,

звідси

Теорему доведено.

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа. Нехай графік функції зображено на рис. 6.10. Відношення є кутовий коефіцієнт січної , а - кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою . Обидва кутові коефіцієнти однакові. Отже, дотична і січна паралельні. Тому висновок теореми Лагранжа можна сформулювати так: на дузі знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до кривої паралельна хорді .

Оскільки , то можемо записати:

.

Рис.6.19 Рис.6.10

Отже, рівність (6.73) можна записати в такому вигляді:

,

або

.

Зокрема, покладемо , одержимо рівність

.

Вираз, який стоїть у лівій частині останньої рівності, є не що інше, як приріст функції в точці . Отже, дістаємо формулу

. (6.74)

Формула (6.74) виражає точне значення приросту функції

в точці за будь-якого скінченого значення приросту аргументу і має назву формули скінчених приростів.

Наслідок 1. Якщо функція на проміжку має похідні і за будь-якого , то на даному проміжку є сталою.

Д о в е д е н н я. Візьмемо в проміжку дві довільні точки Тоді функція на відрізку задовольняє умовам теореми Лагранжа і справедливою є рівність

.

Проте при будь-якому , зокрема і при , дорівнює нулю. Тоді з попередньої нерівності випливає:, або .

Оскільки і - довільні точки проміжку і функція у цих точках набуває однакових значень, то є сталою.

Тепер ми можемо сформулювати такий критерій сталості диференційованої функції на заданому проміжку: для того, щоб диференційована на проміжку функція була сталою, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці цього проміжку дорівнювала нулю.

Наслідок 2. Якщо функції і на проміжку мають похідні , і за будь-якого , то різниця між цими функціями є величина стала.

Д о в е д е н н я. Позначимо різницю через : .

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3 



Реферат на тему: Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок