Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Кардинальні числа

Кардинальні числа

Назва:
Кардинальні числа
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
11,61 KB
Завантажень:
27
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3 
Нехай A - деяка множина і S = { B | B ~ A} - сукупність усіх множин, рівнопотужних множині A. Очевидно, що всі множини з S рівнопотужні. Кардинальним числом (позначається |A|, або Card A) будемо називати деякий об’єкт для позначення потужності будь-якої множини із сукупності S.

Зокрема, для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів будь-якої з множин сукупності S. Таким чином, можна вважати, що кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Природно виникає питання про порівняння кардинальних чисел нескінченних множин.

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

1. Iснує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.

2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не менша від потужності множини B і записують |A||B|.

3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B'  B і B~A'  A.

За теоремою Кантора-Бернштейна, доведення якої наведено нижче, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.

4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору (див.розд.1.13), можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A||B| або |B||A|.

Якщо |A||B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то писатимемо |A|

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3 



Реферат на тему: Кардинальні числа

Схожі роботи:


BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок