Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Розклад вектора за базисом

Розклад вектора за базисом

Назва:
Розклад вектора за базисом
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
73,81 KB
Завантажень:
382
Оцінка:
 
поточна оцінка 3.4


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Означення 8. Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

Означення 9. Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі .

В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (7) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими . Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів .

Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням 8 звідси випливає, що вектори лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (7), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори із простору Еn (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді , тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів , не дорівнює нулю.

Приклад 1. Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів = (-1,-2,-3); = (7,8,9); = (-4,-5,6) та системи векторів = (3,-2,4,1); = (-1,2,-1,2); = (1,2,2,5).

Розв’язування. Спочатку розглянемо систему векторів , та . Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

Визначник цієї матриці |А| = - 48 + 72 + 105 – 96 +84 – 45 = 72 не дорівнює нулю, тому r(A)=3 і вектори, лінійно незалежні.

Тепер розглянемо систему векторів. Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:

Ця матриця розміру 3 х 4 має ранг r(B)=2.

Тому вектори , , лінійно залежні.

Означення 10. Базисом n вимірного простору Еn називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів n вимірного простору.

Довільний вектор n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса так:

Числа називають координатами вектора у базисі векторів .

Приклад 2. Довести, що вектори = (5,4,3); = (-3,-1,2); та = (-3,1,3) утворюють базис в Е3, та розкласти вектор = (12,9,10) за цим базисом.

Розв’язування. Кожен із заданих векторі, має три координати, тому належить тривимірному простору Е3. Матриця складена з координат цих векторів

має визначник |А|= -15-24-9-9+36-10= -31 0, тому вектори, лінійно незалежні. Згідно з означенням 10 базиса, ці вектори утворюють базис в Е3.

Вектор також має три координати, тобто належить Е3. Тому його можна представити у вигляді (8) або

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої рівності одержимо

Матричним методом можна знайти розв’язок цієї системи

Отже, маємо розклад за базисом

= 3

Координатами вектора у базисі , , будуть (3,2,-1).

Зауваження. Два лінійно залежних вектори задовольняють рівність , тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні, тобто

1.6. Вправи з векторної алгебри

1. Взяти довільний вектор і побудувати вектори

2. Використовуючи два довільні вектора та , побудувати, 2 - 3

3. Паралелограм АВСD побудований на векторах та . Виразити через та вектори, та , де М – точка перетину діагоналей.

4. При якому розташуванні вектора відносно осі його проекція:

а) додатня; b) від’ємна; с) дорівнює нулю?

5. Знайти координати векторів

2 +5 та 2 - , якщо = (2,-4,2), =(-3,2,-1)

6. Побудувати ромб АВСD і записати вектори, що утворені сторонами ромба та:

а) мають рівні модулі; b) колінеарні; с) рівні між собою

7. Задані точки М1 (1,2,3) та М2 (3,-4,6). Треба:

а) знайти координати векторів = = ;

b) знайти довжину відрізка М1М2 та косінуси кутів що утворює вектор з осями координат;

с) знайти орт вектора

8. Задана точка А(-2,3,-6). Обчислити:

а) координати радіус-вектора точки А;

b) модуль та косінуси кутів між та осями координат;

9. Чому дорівнює скалярний добуток  , якщо:

а) та колінеарні і однаково напрямлені;

b) та протилежні;

с)d) =

10. Вектори та утворюють кут Обчислити:

а) b) (3 - 2 )( +2 ); c) | + |; d) |2 -3 |

11. Задані вектори =(1,-2,4), =(3,0,-1). Знайти модуль вектора =2 -3 та його напрямні косінуси.

12. Задані точки А(-1,3,-7), В(2,-1,5), С(0,1,-5)

Знайти

13. Перевірити колінеарність векторів =(2,-1,3) та (-6,3,-9)

14. Чи утворюють базис у тривимірному просторі вектори

= (1,2,2); = (1,2,3); = (1,2,-2)

15. Знайти:

а) усі можливі базиси системи векторів

= (1,1,1); = (1,2,2); =(1,1,3); = (1,1,-2)

b) координати у базисі

Завдання для індивідуальної роботи.

Задані чотири вектори. Довести, що вектори, утворюють базис та знайти координати вектора , в цьому базисі та.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Розклад вектора за базисом

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок