Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Збурення псевдообернених та проекційних матриць

Збурення псевдообернених та проекційних матриць

Назва:
Збурення псевдообернених та проекційних матриць
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
100,33 KB
Завантажень:
56
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою подальшого використання при розв'язанні задач ідентифікації, нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.

Відповідно до постановки задачі про аналітичне представлення збурень псевдообернених матриць [7, 8], будемо розглядати для деякої довільної матриці її псевдообернену матрицю , збурену матрицю

збурену псевдообернену матрицю

збурену проекційну матрицю

а також наступну проекційну матрицю

Функції , , мають різний вигляд в залежності від того, можна або неможливо представити вектори й у формі лінійних комбінацій векторів-стовпчиків або, відповідно, вектор-рядків матриці .

Розглянемо чотири можливих випадки залежності векторів і від елементів матриці .

Випадок 1. Вектори і лінійно незалежні з векторами-стовпцями і векторами-рядками матриці відповідно, тобто

Тоді залежність визначається наступною теоремою.

Теорема 1. Якщо для матриці виконуються умови (2.1), то

.

Використовуючи співвідношення (2.1) для функцій їхній вид визначається наслідками з теореми 1.

Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то

Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно

Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то

Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і

, ,

тобто, вектор є ортогональним до усіх векторів-стовпців матриці , а вектор – до всіх вектор-рядкам матриці , т

Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2.3) і співвідношень

Випадок 2. Вектор є лінійно залежним від вектор-стовпців матриці , а вектор – лінійно незалежним від вектор-рядків матриці , тобто

Тут має місце наступна теорема [8].

Теорема 2. Якщо для матриці виконуються умови (2.5), то

Наслідок 4. Якщо виконуються умови теореми 2 і вектор є ортогональним до вектор-рядків матриці , тобто , то

Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

де визначається по формулі (2.8).

Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень

Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

За умови вирази й у цьому випадку будуть отримані після аналізу випадку лінійної залежності і від відповідно вектор-стовпців і векторів-рядків матриці .

Випадок 3. Вектори і лінійно залежні відповідно від вектор-стовпців і векторів-рядків матриці , тобто

У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно наступної теореми.

Теорема 3. Якщо для матриці , , виконуються умови (2.11), (2.12), то мають місце співвідношення

Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то

Справедливість твердження наслідку 7 перевіряється простою підстановкою формули (2.15) у вираз для матриці

де використані властивості

( відповідно до (2.11) ),

( відповідно до (2.12) ).

Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то

де визначається по формулі

При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.

Лема. Квадратна матриця при наявності умови має наступну псевдообернену матрицю

Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї деякого її стовпця або рядка.

Випадок 4. Нехай мають місце умови (2.11)

але при цьому не виконується рівність (2.12), тобто

Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова

Теорема 4. Якщо для матриці виконуються умови (2.11), (2.18), то мають місце співвідношення

Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна задовольняти псевдообернена матриця.

Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то

Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то

Довести останню формулу можна наступним чином

Наслідок 11. Якщо мають місце умови теореми 2 і

Доведення наслідку 11 випливає з розбивки вектора на два ортогональні складові і застосування послідовно до матриці теореми 4, наслідку 9, а потім до матриці наслідку 4 і 5.

Розглянемо тепер збурення -матриці у формі або поповнення її новим рядком до встановлення її розмірності або вилучення з неї однієї з її рядків із зміною розмірності матриці до . В якості збурень без обмеження спільності будемо розглядати поповнення матриці або вилучення останнього рядка. При поповненні матриці новим рядком для визначення збуреної псевдооберненої матриці використовуються добре відомі формули Гревіля [5]

Нехай для матриці має місце співвідношення , тоді

При вилученні з матриці останнього рядка псевдообернена і проекційні матриці набувають наступні зміни

)

, (2.41)

Слід зазначити, що умова (2.33) визначає падіння рангу в матриці при вилученні вектор-рядки , тобто

а умова (2.38) – відсутність зниження рангу

Наведемо доведення формули (2.35). Якщо

відома матриця, де – її останній стовпчик. Тоді, відповідно до (2.27), при одержимо

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Збурення псевдообернених та проекційних матриць

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок