Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Різницеві інтерполяційні формули

Різницеві інтерполяційні формули

Назва:
Різницеві інтерполяційні формули
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
69,51 KB
Завантажень:
77
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Як побачимо далі, ІП можна розглядати як узагальнення відрізку ряду Тейлора.

Узагальненням поняття похідної є поняття розділеної різниці (PP). Нехай у вузлах відомі значення функції . Припустимо також, що при . Тоді РР нульового порядку співпадають зі значеннями функції , РР 1- го порядку визначаються рівністю

РР 2- го порядку:

і взагалі РР k-го порядку визначаються через різниці ( -1)-го порядку за формулою

Лема.Справедлива рівність

Безпосередньо з (1) випливає ряд наслідків.

1. При фіксованих РР є лінійним функціоналом від функції :

2. РР є симетричною функцією своїх аргументів , тобто не змінюється при їх перестановці.

Якщо функцію задано в точках , то таблицю

називають таблицею розділених різниць.

За допомогою РР можна одержати іншу форму запису ІП Лагранжа:

Порівнюючи з твердженням леми, впевнюємось, що вираз в дужках дорівнює . Таким чином, можна написати

де визначено нами раніше.

Нехай - ІП Лагранжа з вузлами інтерполяції . Поліном Лагранжа можна подати у вигляді

Різниця - - поліном степеня , який обертається в нуль в точках , оскільки при . Отже,

Покладаючи , одержуємо

З іншого боку, беручи в (2)і, маємо

Таким чином, , тому

Підставляючи це в (3), одержимо

Таке представлення ІП називається формулою Ньютона з розділеними різницями. З порівняння ІП Ньютона і Лагранжа випливає важлива рівність

Зокрема, якщо - поліном степеня , то на підставі (4) маємо

при будь-яких.

Якщо , то внаслідок (4) маємо

Тому величина може використовуватись як наближена оцінка для величини .

Використання одержаних нами інтерполяційних формул для безпосереднього обчислення наближених значень інтерпольованої функції не є ефективним. Значно краще для цього використовувати схему Ейткена. Нехай - ІП з вузлами, зокрема, . Справедлива рівність

Дійсно, права частина - це поліном степеня , який співпадає з в точках . Схема Ейткена обчислення значення полягає в послідовному обчисленні за допомогою (5) елементів таблиці значень ІП.

Цю схему покладено в основу стандартної програми розв'язку такої задачі: Дано таблицю значень деякоІ функції на , потрібно при будь-якому значенні обчислити значення з заданою точністю або з найкращою можливою точністю при наявній інформації,

Побудова алгоритму, яку ми зараз розглянемо, є досить типовою для ситуації, що виникає на практиці. Неможливо запропонувати обгрунтований алгоритм розв'язку поставленої задачі для всіх функцій, якщо про функцію нічого не відомо, крім її значень в заданих точках. Але, припускаючи, що функція є досить гладкою, одержуємо практичний критерій оцінки похибки і, грунтуючись на ньому, будуємо алгоритм розв'язку задачі.

Нехай фіксовано; перенумеруємо вузли інтерполяції в порядку зростання . ІП будемо позначати як .

Раніше ми одержали вираз для похибки (2)

а також рівність . Якщо малі, то .Враховуючи це, маємо . З цього випливає, що величину можна розглядати як наближену оцінку похибки інтерполяційної формули . Отже, можна послідовно обчислювати значення ..., якщо при деякому буде , то обчислення можна припинити і покласти . Якщо ця нерівність не виконується ні при якому , то треба знайти і покласти . Якщо величини , починаючи з деякого , мають стійку тенденцію до збільшення, то обчислення значень , припиняються.

Розглянемо тепер дещо узагальнену задачу інтерполювання. Якщо у вузлах інтерполяції відомі не лише значення шуканої функції, а й її похідних до деякого порядку, то було б нерозумним не скористатися цією додатковою інформацією.

Нехай треба побудувати поліном степеня , що задовольняє умовам:

де всі різні, . Такий поліном називають ІП з кратними вузлами, а числа - кратностями вузлів відповідно.

ІП визначається єдиним чином. Справді, припустимо що існує два полінома степеня , що задавольняють умовам (6). Тоді їх різниця задoвoльняє cпіввідношенням

точки є нулями полінома кратності . Цих нулів загалом +1.

Далі будемо припускати, що функція неперервно диференційовна +1 раз. Існування ІП , що задовольняє умовам (6), доведемо, одержавши для нього явний вираз. Визначимо послідовність сукупностей точок що задовольняють таким умовам: при всі точки різні, при . Зокрема, можна покласти .

Побудуємо ІП степеня , що співпадає з в точках . Таблиця РР, відповідних цьому набору вузлів, має вигляд:

Запишемо ІП Ньютона з розділеними різницями:

Виражаючи РР через похідні, маємо

Таким чином, всі елементи таблиці мають границі, при . Ми позначатимемо через , отже, .

Якщо всі елементи таблиці мають границі, то на будь-якому відрізку поліноми при прямують до деякого поліному

записується у вигляді

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Різницеві інтерполяційні формули

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок