Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)

Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)

Назва:
Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
68,87 KB
Завантажень:
872
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3 
План

• Канонічні рівняння кривих другого порядку

• Еліпс.

• Гіпербола.

• Парабола.

• Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярних координатах.

1. Криві другого порядку на площині

Множині рівнянь, що зв’язують дві змінні у деякій плоскій системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм. Пряма лінія – частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її рівнянням.

Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива другого порядку описується рівнянням

Найпоширеніші з кривих другого порядку – еліпс і його частинний випадок – коло, гіпербола і парабола. Про еліпс згадується ще у середній школі у зв’язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі. Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах. Французький вчений Левер’є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран. Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть, що вона була відкрита “на кінчику олівця”.

З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються зубчасті еліптичні передачі .

Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.

3.6.1. Еліпс

Нехай у рівнянні дорівнюють нулю, коефіцієнти і мають однаковий знак, протилежний знаку . Тоді рівняння кривої матиме вигляд,

Оскільки і , то можна покласти. Тоді рівняння набере вигляду

.

Крива, що описується цим рівнянням, називається еліпсом. При заміні на і на рівняння не змінюється, тому крива є центрально-симетричною фігурою, тобто її центром є початок координат .

При матимемо , а при . Виразимо з

Виразимо з через . Тоді для першої чверті матимемо

Це означає, враховуючи центральну симетричність кривої , що еліпс розміщений між двома прямими і . Аналогічно можна показати, що еліпс розміщений і між прямими і . Отже, еліпс розміщений всередині прямокутника, визначеного вказаними чотирма прямими. З центральної симетричності еліпса і попередніх міркувань випливає, що еліпс дотикається до сторін вказаного прямокутника в точках з координатами: .

Ці точки називаються вершинами еліпса, а відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - осі еліпса, а їх половини – півосі. При цьому вісь осі називатимемо великою віссю еліпса, а вісь осі - малою.

Розглянемо на осі дві точки і, а на кривій довільну точку. Нехай сума дорівнює деякому числу, тобто

Після звільнення у цій рівності від ірраціональностей (пропонується читачеві виконати це самостійно),

Щоб ця рівність збігалася з, треба прийняти і

Звідси випливає, що на осі всередині прямокутника існують дві точки і,

що сума їх віддалей від довільної точки еліпса дорівнює - великій осі еліпса.

З цих міркувань одержуємо таке означення: еліпсом називається множина точок площини, сума віддалей яких від двох даних точок (фокусів) є величина стала і дорівнює .

З формули очевидно, що при збільшенні від до величина зменшується від до

Оскільки друга похідна функції по від’ємна то у першій чверті крива опукла.

Враховуючи крім того центральну симетричність еліпса, тепер можна здійснити його схематичну побудову

Точну побудову еліпса можна здійснити так: у точках і прикріплюється нитка певної довжини. Якщо її натягнути, потім, тримаючи нитку натягнутою, олівцем описати замкнену криву, то вона і буде згідно з означенням еліпсом.

Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми (рис.3.18).

Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3 



Реферат на тему: Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок