Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Натуральні логарифми

Натуральні логарифми

Назва:
Натуральні логарифми
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
45,61 KB
Завантажень:
260
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
План

• Границя при

• Число

• Границі при і при

• Натуральні логарифми.

1. Число

Розглянемо послідовність із загальним членом

Доведемо, що така послідовність збіжна. Для цього обґрунтуємо, що послідовність - зростаюча і обмежена зверху.

а) Покажемо, що

За формулою Ньютона для бінома

У правій частині рівності (5.13) маємо доданків, тоді як в рівності (5.12) - Крім цього, кожний доданок, починаючи з третього, більший за відповідний доданок правої частини рівності (5.12), а перші два доданки рівні між собою.

Тому

б) Покажемо, що послідовність є обмежена зверху. Справді, якщо в правій частині рівності (5.12) вираз в круглих дужках

на одиницю, то матимемо

У правій частині нерівності (5.14) в кожному доданку, починаючи з другого, замінимо в знаменнику співмножники, більші за 2, числом 2.

Матимемо

Члени правої частини (5.15), починаючи з другого, утворюють спадну геометричну прогресію із знаменником Сума правої частини (5.15) дорівнює:

Отже,

Тому існує границя послідовності Її позначають буквою :

Число відіграє надзвичайно велику роль як для самого аналізу, так і для його застосування. Наближене значення його з точністю до 0,0001:

Деякі властивості числа роблять особливо зручним вибір саме цього числа основою логарифмів. Ці логарифми називають натуральними і позначають символом (не вказуючи основи).

У теоретичних дослідженнях використовують виключно натуральні логарифми.

Десяткові логарифми знаходять через натуральні за формулою

де модуль переходу,

2. Границі при та при

Границя відношення при .

Покажемо, що

1. Нехай . Оскільки розглядається в малому околі нуля, то можна припустити, що .

Тепер треба показати, що для будь-якого як завгодно малого числа існує таке число , що з нерівності випливає нерівність.Доведемо спочатку допоміжні нерівності, а саме: покажемо, що при справджуються нерівності .

Візьмемо коло з центром у довільній точці і радіусом, що дорівнює одиниці (рис.5.1), а також , радіанна міра якого .

Оскільки радіус кола дорівнює одиниці, то довжина відрізка дорівнює , а довжина відрізка .

Порівняємо площі трикутника , сектора і трикутника . Оскільки площа частини менша від площі цілого, то ці площі поєднані подвійною нерівністю . Але

Підставивши значення в останні нерівності і відкинувши спільний множник , одержимо

Оскільки і , то при діленні на знак нерівності зберігається і приходимо до нерівності

В силу цього за теоремою про границю змінної величини, що знаходиться між двома іншими ( і ), які мають спільну границю, знаходимо

.

Нехай . Введемо нову змінну за формулою . Тоді

Слід зауважити, що при розв’язанні цієї задачі ми не робили ніякого припущення про те, що є строго аргументом. Тому

Приклади.

Легко бачити справедливість таких нерівностей:

.

(Нерівності зберігають свій знак, оскільки із трьох чисел, більших одиниці, найменше підноситься до найменшого додатного степеня, а найбільше – до найбільшого, також додатного степеня).

Згідно з теоремами про границю добутку і частки маємо

Крайні члени нерівності прямують при до однієї і тієї самої границі – числа .

Правостороння і лівостороння границі функції однієї змінної. Для дальшого викладу теорії необхідно ввести в розгляд поняття правосторонньої та лівосторонньої границь функції. Припустимо, що функція визначена на деякому проміжку , крім можливо, точки .

Означення. Число називається правосторонньою границею функції в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа існує додатне число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності ,

виконується нерівність, і це записують так:

Означення. Число називається лівосторонньою границею функції в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа існує додатне число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності,

виконується нерівність,

і це записують так:

Отже , для лівосторонньої границі аргумент береться поблизу

точки (але ), тоді як для правосторонньої границі

береться поблизу точки (але ). Зокрема, якщо функція

визначена на інтервалі чи на відрізку , то в точці можна розглядати тільки правосторонню границю, а в точці - лівосторонню.

Зауваження. 1) функція в точці може мати дві границі (правосторонню і лівосторонню), причому ці границі різні; 2) функція в точці має дві границі і вони рівні між собою; 3) хоч одна з границь функції в точці не існує.

Легко бачити, що коли функція в точці має границю, то вона має в цій точці правосторонню і лівосторонню границі, і вони рівні між собою.

Справедливе й обернене твердження. Якщо функція в точці має лівосторонню і правосторонню границі і вони рівні між собою, то ця функція в точці має границю, яка дорівнює значенню лівосторонньої і правосторонньої границь.

Техніка знаходження границь функцій.

Приклади. Знайти границі:

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Натуральні логарифми

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок