Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання

Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання

Назва:
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
20,63 KB
Завантажень:
268
Оцінка:
 
поточна оцінка 4.7


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
План

• Похідні вищих порядків

• Диференціали вищих порядків.

• Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.

6.9. Похідні вищих порядків

Нехай функція задана на деякому проміжку і нехай всередині цього проміжку вона має похідну . Тоді може трапитися випадок, що , будучи функцією від , в деякій точці , а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції в точці .

Похідна другого порядку позначається одним із символів:

Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто

Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку , а потім від похідної знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти , треба функцію продиференціювати два рази.

Приклад. Знайти від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо :

Для знаходження цей результат диференціюємо ще раз. Маємо

Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом

то, як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:

Тоді прискорення визначають як похідну першого порядку від швидкості.

Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.

Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.

Нехай у кожній внутрішній точці проміжку існує похідна другого порядку . Отже, є функція . Припустимо, що в деякій внутрішній точці має похідну першого порядку .

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:

Отже, за означенням

Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.

Приклад. Знайти від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо.

Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо

Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:

Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна - го порядку і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку, то можна дати означення похідної - го порядку від функції в точці.

Означення. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної - го порядку називається похідною - го порядку, або - ю похідною, позначається одним із символів:

Отже, згідно з означенням похідної - го порядку маємо таку рівність:

а звідси й випливає правило знаходження похідної - го порядку: щоб знайти похідну - го порядку, треба функцію продиференціювати послідовно раз.

Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так. Похідні п’ятого, шостого і т. д.

- го порядку.

6.10. Диференціали вищих порядків

Розглянемо на деякому проміжку функцію , яка на цьому проміжку має похідні до - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку існує диференціал

У подальшому диференціал називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції .

Диференціал першого порядку є функція від і отже, якщо функція є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції , і позначають .

Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Матимемо

Оскільки є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:

.

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції уже означений диференціал - го порядку - й диференціал то диференціалом - го порядку, або - м диференціалом від функції називається диференціал першого порядку від диференціала - го порядку. Диференціал - го порядку визначається символом .

Отже, згідно з означенням

Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала - го порядку:

При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції є, в свою чергу, деякою функцією від .

Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.

Нехай маємо складну функцію , де функції і мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді має диференціал,

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок