Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості

Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості

Назва:
Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
20,37 KB
Завантажень:
333
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
План

• Похідна за напрямком

• Градієнт функції

• Основні властивості

1. Похідна функції за напрямком і градієнт

Нехай - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і ). При переміщенні в заданому напрямку точки в точку функція одержує приріст

який називається приростом функції в заданому напрямку.

Якщо є величина переміщення точки, то із прямокутного трикутника одержуємо.

Означення. Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто

З цієї точки зору похідні і можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і . Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку .

Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому

де і при і. Звідси в силу співвідношень одержуємо

Переходячи до границі в останній формулі при,тобто при і, одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:

Приклад. Обчислити в точці похідну функції в напрямку, що складає кут з віссю.

Р о з в ’ я з о к.

Зауваження. Для функції її похідна в напрямку дорівнює

При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції.

Означення. Градієнтом функції в точці в даній точці називається вектор, розміщений в площині аргументів і , який має своїм початком цю точку і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці:

Тут - орти координатних осей і.

Теорема. Градієнт диференційованої функції в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.

Д о в е д е н н я. Запишемо вираз похідної як скалярний добуток двох векторів:

Перший із співмножників є.

Звідси буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів і збігаються; це найбільше значення дорівнює модулю , тобто числу

Теорема доведена.

Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання.

Приклад. Знайти напрямок найшвидшого зростання функції в точці і обчислити значення похідної в цьому напрямку.

Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці :

Отже, шуканий напрямок складає кут з віссю.

Похідна .

Нехай точка лежить на лінії рівня в точці з рівнянням . Кутовий коефіцієнт дотичної до в точці . Кутовий коефіцієнт градієнта в точці дорівнює .

Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції в точці напрямлений за нормаллю до лінії рівн, яка проходить через точку.

Зауваження. Градієнт функції в точці запишеться так:

де - орти координатних осей.

Завантажити цю роботу безкоштовно



Реферат на тему: Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок