Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні

Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні

Назва:
Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
27,23 KB
Завантажень:
141
Оцінка:
 
поточна оцінка 0.0


Скачати цю роботу безкоштовно
План

• Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах

• Площа поверхні

• Площа поверхні обертання

• Площа циліндричної поверхні

10.3. Довжина дуги

Це питання для кривої , заданої рівнянням , вже розглядалося в п.9.1. Там була знайдена формула

Якщо крива задана параметрично, тобто у вигляді то

Для просторової кривої, заданої параметрично , довжина дуги обчислюється за формулою

аналогічно формулі. Виведення цієї формули базується на розгляді елемента дуги, кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ є хордою елемента дуги.

У випадку задання кривої в полярній системі координат, матимемо

Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатах можна записати як параметричні з параметром q :

і використавши формулу.

Приклад 1. Обчислити довжину кривої, заданої рівнянням .

Р о з в ‘ я з о к. Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис.10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою, одержимо

10.4. Площа поверхні

10.4.1. Площа поверхні обертання

Довжина дуги, що обмежує смужку зверху,

Ця дуга в разі обертання утворить поверхню обертання, площа якої дорівнюватиме бічній поверхні конуса, який має висоту, а радіуси основ його . Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої висоти

Нескінченно малою вищого порядку нехтуємо і в результаті одержимо звідки

10.4.2. Площа циліндричної поверхні

На рис. 10.10 зображено циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі . Нехай ця поверхня задана рівняннями

Виділивши смужку так, як показано на рис, знайдемо її площу

Зауваження 1. При одержанні формул (10.1) – (10.2), (10.4) – (10.8) виділені елементи фігур вважалися прямокутниками (див. рис. 10.1, 10.4,10.5 ), сектором з центральним кутом ( рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б строго довести.

Приклад . Еліпс із великою піввіссю і малою піввіссю робить один оберт навколо великої осі і вдруге – навколо малої осі. Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.

Р о з в ‘ я з о к. Досить розглянути лише половину еліпса:

В результаті обертання навколо великої осі одержимо за

де - ексцентриситет еліпса.

За допомогою підстановки матимемо

У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл

В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функці

Завантажити цю роботу безкоштовно



Реферат на тему: Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок