Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Лінійні неоднорідні системи

Лінійні неоднорідні системи

Назва:
Лінійні неоднорідні системи
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
97,95 KB
Завантажень:
110
Оцінка:
 
поточна оцінка 3.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

чи у векторно-матричному вигляді

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор є

розв’язком лінійної неоднорідної системи, a розв’язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума - є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

тобто є розв’язком неоднорідної системи.

Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори, є розв’язками лінійних неоднорідних систем

де, то вектор, де - довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи

Дійсно, за умовою виконуються - тотожностей

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

тобто лінійна комбінація буде розв’язком системи

Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами є розв’язком неоднорідної системи , де, то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи.

Доведення. Нехай - загальний розв’язок однорідної системи і - частинний розв’язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума буде розв’язком неоднорідної системи.

Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто підбором сталих, можна розв’язати довільну задачу Коші

Оскільки - загальний розв’язок однорідного рівняння, то вектори лінійно незалежні і система алгебраїчних рівнянь

має єдине розв’язок. І лінійна комбінація с отриманими сталими, є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.

Нехай маємо систему

і - загальний розв’язок однорідної системи. Розв’язок неоднорідної будемо шукати в такому ж вигляді, але вважати не сталими, а невідомими функціями, тобто і ,чи в матричній формі

де -фундаментальна матриця розв’язків, - вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо

Оскільки - фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то

і залишається система рівнянь .

Розписавши покоординатно, одержимо

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок і функції визначаються в такий спосіб

Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд

Для лінійної неоднорідної системи на площині

метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.

Нехай

Фундаментальна матриця розв’язків однорідної системи. Тоді частинний розв’язок неоднорідної шукається у вигляді

Звідси

І загальний розв’язок має вигляд

де - довільні сталі.

4. Метод невизначених коефіцієнтів

Якщо система лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, а векторна функція спеціального виду, то частинний розв’язок можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв’язку зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих порядків.

1) Нехай кожна з компонент вектора є многочленом степеня не більш ніж, тобто

а) Якщо характеристичне рівняння не має нульового кореня, тобто, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

б) Якщо характеристичне рівняння має нульовий корінь кратності, тобто, те частинний розв’язок шукається у вигляді многочлена степеня , тобто

Причому перші - коефіцієнти, знаходяться точно, а інші з точністю до сталих інтегрування , що входять у загальний розв’язок однорідних систем.

2) Нехай має вид

а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення, тобто, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

б) Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності, тобто, то частинний розв’язок шукається у вигляді

І, як у попередньому пункті, перші - коефіцієнти, знаходяться точно, а інші з точністю до сталої інтегрування .

3) Нехай має вигляд:

а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

б) Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності, то частинний розв’язок має вигляд

Завантажити цю роботу безкоштовно



Реферат на тему: Лінійні неоднорідні системи

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок