Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Назва:
Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
76,46 KB
Завантажень:
94
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь

Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд

Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд

Іноді його називають диференціальним рівнянням у нормальній формі. Для диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної, задача Коші ставиться таким чином. Потрібно знайти функцію, - раз неперервно диференційованою, що при підстановці в рівняння обертає його в тотожність і задовольняє початковим умовам. Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, задача Коші полягає в знаходженні розв’язку, що задовольняє початковим даним

де значення довільні, а один з коренів алгебраїчного рівняння .

Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, розв’язаного відносно похідної). Нехай у деякому замкненому околі точки функція задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.

Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам

Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, не розв’язаного відносно похідної). Нехай у деяком замкненому околі точки функція задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам

Визначення. Загальним розв’язком диференціального рівняння -го порядку називається -раз неперервно диференційована функція , що обертає при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків.

2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду

Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді

Якщо задані умови Коші

то розв’язок має вигляд

2) Рівняння вигляду

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

Використовуючи основне співвідношення , одержимо

Проінтегрувавши його, маємо

І одержимо параметричний запис рівняння -порядку

Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді

3) Рівняння вигляду

.

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

Використовуючи основне співвідношення, одержуємо

Проінтегрувавши, маємо

І одержали параметричний запис рівняння -порядку

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо

Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді

4) Нехай рівняння вигляду

можна розв'язати відносно старшої похідної

Домножимо його на й одержимо

Перепишемо його у вигляді

Проінтегрувавши, маємо

тобто,

Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку

і повернулися до третього випадку.

3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.

1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно

Зробивши заміну:

одержимо рівняння -порядку.

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної

Будемо вважати, що - нова незалежна змінна, а - функції від. Тоді

Після підстановки одержимо диференціальне рівняння -порядку.

3) Нехай функція диференціального рівняння

є однорідної щодо аргументів.

Робимо заміну, де - нова невідома функція. Одержимо

Після підстановки одержимо

Оскільки рівняння однорідне відносно, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо

диференціальне рівняння -порядку.

4) Нехай ліва частина рівняння

є похідної деякого диференціального вираза ступеня , тобто

У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл

5) Нехай диференціальне рівняння

розписано у вигляді диференціалів

і - функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну, де - нові змінні. Тоді одержуємо

Підставивши, одержимо

Скоротивши на одержимо.

Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.

Завантажити цю роботу безкоштовно



Реферат на тему: Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок