Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної

Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної

Назва:
Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
94,45 KB
Завантажень:
77
Оцінка:
 
поточна оцінка 4.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
1. Рівняння Рікатті.

Рівняння Рікатті має вигляд,

де P(x), Q(x), R(x) – визначені неперервні на (a,b) .

Причому R(x) 0 і P(x) 0,так як при цьому диференційне

рівняння (1) вироджується в рівняння Бернуллі і лінійне відповідно.

При таких критеріях відносно функцій P(x) , Q(x), R(x)

диференційне рівняння має єдиний розв’язок при.

Тому діференційне рівняння особливих розв’язків не має.

Властивості диференційного рівняння :

а) Диференційне рівняння інваріантно відносно перетворення :

б) Диференційне рівняння інваріантно відносно дробно-

лінійного перетворення :

де будь-які неперервно-диференційовані функції на

(a,b), які задовольняють умові, z-нова незалежна

змінна.

Заміною диференційне рівняння приводиться до

рівняння вигляду :

При змінних диференційне рівняння інтегрується

тільки в деяких випадках , а саме :

константи ;

Це диференційне рівняння з розділеними змінними ;

константи;

Це однорідне диференційне рівняння ;

константи ;

Це диференційне рівняння , яке зводиться до диференційного рівняння

заміною

інтегрується , так як узагальнено – однорідне

Заміна Тут -постійні , такі що

Побудова загального розв’язку диференційного рівняння

в випадках , якщо відомі частинні лінійно-незалежні розв’язки.

А. Відомо один частинний розв’язок

Твердження 1. Якщо відомо один частинний розв’язок диференційного рівняння (1) , то воно зводиться до рівняння Бернуллі при n=2 .

Доведення. Зробимо заміну . Підставимо в .

Звідки

Далі підстановкою

диференційне рівняння зводимо до лінійного

Тому при відомому одному частинному розв’язку диференційне рівняння інтегрується через дві квадратури. На практиці одразу роблять підстановку Дослідимо структуру загального розв’язку диференційного рівняння . Так як то

Тобто загальний розв’язок-це дробно-раціональна функція змінної .

Б. Відомо два частинні розв’зки диференційного рівняння

Твердження 2 Якщо відомо два частинні розв’зки диференційного рівняння, то загальній розв’язок знаходиться одного квадратурно.

Дійсно, при заміні являється частинним розв’язком

лінійного рівняння. Тут загальний розв’язок диференційного рівняння знаходиться одного квадратурно

В. Відомо три частинні розв’зки диференційного рівняння

Загальний розв’ язок диференційного рівняння Рікатті знаходиться без квадратур.Дійсно, якщо частинні розв’язки диференційного рівняння ,то

частинні розв’язки лінійного рівняння. А в цьому випадку його розв’язок знаходиться без квадратур

Підставляючи в знайдемо розв’язок диференційного рівняння

2. Рівняння в повних диференціалах

Означення 1 . Рівняння називається рівняння в повних диференціалах, якщо його ліва частина представляє собою повний диференціал деякої функції

тобто

Загальний інтеграл диференційного рівняння має вигляд Особливих розв’язків диференційне рівняння не має .

Приклад 1 - загальний

Інтеграл .

Припустимо,що функції - неперервно диференційовані.

Теорема 1. Для того,щоб диференційне рівняння було в повних диференціалах необхідно і достатньо,щоб виконувалася рівність

Доведення . Необхідність. Нехай диференційне рівняння являється рівнянням в повних диференціалах Звідси А це означає,що

виконуеться .

Достатність. Нехай умова виконується. Покажемо,що існує ,яка задовольняє диференційне рівняння або ж. Розглянемо перше рівняння з системи Рівняння задовольняє функція де - довільна функція, яку виберемо так, щоб виконувалося друге рівняння системи. Або. Використавши , отримаємо Отже

Теорема доведена.

Беремо ,тоді загальний інтеграл диференційного рівняння буде ,тобто

Якщо при побудові функції взяти за сталу друге рівняння системи , то отримаємо В формулах точки вибириють довільно, але так , щоб інтеграли мали зміст. Якщо точки вибрані вдало , то задача інтегрування спрощується.

Приклад 2. Розв’язати диференційне рівняння

Використовуємо формулу при

Знайдемо Отже, - загальний інтеграл.

Формули дають можливість розв’язувати задачу Коші з умовами ,якщо точка лежить в області визначення диференціального рівняння . Для цього достатньо взяти в с=0 .

Цей розв’язок буде єдиний .

Інтегрувальний множник. Теореми про існування, неєдиність і загальний вигляд інтегрувального множника.

Розглянемо диференціальне рівняння ,яке не являється рівнянням в повних диференціалах.

В багатьох випадках диференціальне рівняння можна домножити на функцію , після чого воно буде диференціальне рівняння в повних диференціалах . Функція називається інтегрувальним множником, а

- відповідним йому інтегралом диференціального рівняння , тобто . Звідки , отже

Маємо - це рівняння в часткових похідних першого порядка відносно .В загальному випадку знайти з рівняння важко.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок