Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач

Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач

Назва:
Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
157,83 KB
Завантажень:
58
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3 
Нехай відкрита обмежена множина (область) дійсного -мірного евклідового простору , який складається з точок .

Границею області будемо називати множину \ , де - замикання . Будемо говорити, що належить класу (тобто є разів неперервно диференційовною), якщо для кожної точки можна вказати кулю радіуса з центром в точці , таку що множину , при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду

де - разів неперервно диференційовна функція точки .

Куском границі будемо називати будь-яку відкриту множину . Будемо казати, що границя кусково разів неперервно диференційовна, якщо співпадає із замиканням об'єднання , де - деякий кусок на , який є зв'язною поверхнею класу .

У подальшому термін "кусково-гладка" або "досить гладка" границя будемо застосовувати у тому сенсі, що разів кусково-диференційовна, а число визначається тією задачею, яка буде розглядатися.

Приклад 1. Розглянемо множину вигляду .

Позначимо через і множини

і - відкриті підмножини , тобто куски. Далі, ці куски є зв'язними поверхнями класу , оскільки функції нескінченно-диференційовні у своїй області визначення. Крім того, неважко помітити, що . З цих міркувань випливає, що кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л

Для досить гладкої функції покладемо

де - вектор з цілочисловими невід'ємними компонентами. Символом будемо позначати порядок похідної, тобто .

Введемо далі простір як простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм, розташованим строго всередині . Таким чином, будь-яка функція з нескінченну кількість разів диференційовна, причому існує компактна множина , поза якої ця функція дорівнює нулеві.

Означення 1. Кажуть, що функція , є похідною порядку у сенсі С.Л. Соболєва від функції , якщо має місце рівність

Похідну в сенсі С.Л. Соболєва ще будемо називати узагальненою похідною і позначати символом .

Приклад 2.

Тут ми скористалися умовою

За означенням отримуєм, що

Позначимо через множину всіх функцій з , узагальнені похідні порядку яких належать простору .

Неважко показати, що простір з нормою

- гільбертовий.

Простір називається ще соболівським.

Соболівський простір можна одержати також поповненням простору разів неперервно диференційовних функцій аж до кусково-гладкої границі за нормою .

Поповнення простору за нормою

називається соболівським простором .

Визначимо також простір як поповнення простору відносно норми.

Означення 2. Кажуть, що банахів простір цілком неперервно вкладається у банахів простір , якщо всі елементи простору належать також і простору , крім того, з будь-якої обмеженої послідовності простору можна виділити збіжну в сенсі норми простору підпослідовність.

Приклад 3. Покажемо, що простір цілком неперервно вкладається у простір неперервних на відрізку функцій.

Нехай . Тоді для маємо, що

Звідки, інтегруючи по від до , одержимо, що

Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що

де - деяка константа.

Таким чином, якщо послідовність фундаментальна в метриці , то вона буде фундаментальною і в метриці , тобто поповнення простору за метрикою буде складатися з неперервних функцій, а, отже,

Нехай далі послідовність обмежена в . Згідно з доведеною нерівністю ця послідовність буде рівномірно обмеженою і в просторі .

З нерівності

де , випливає рівностепенева неперервність обмеженої множини функцій. В такому випадку з теореми Арцела випливає, що з послідовності можна виділити збіжну в підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення показана.

Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення соболівських просторів.

Теорема 1. Нехай обмежена область має кусково-гладку границю і . Тоді простір цілком неперервно вкладається в простір .

Позначимо далі через циліндр висоти у просторі , тобто множина вигляду . Через , де - ціле додатне число, будемо позначати множину функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при .

Через будемо позначати множину всіх функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при усіх цілих і невід'ємних таких, що . Тут - ціле невід'ємне число.

Простори і - гільбертові з нормами

Нехай - обмежена область у просторі з кусково-гладкою границею , а функція .

Розглянемо крайову задачу

належать простору сумовних, майже скрізь обмежених в області функцій, причому існує таке, що

і майже скрізь в .

Означення 3. Узагальненим розв'язком крайової задачі (6) будемо називати таку функцію з простору , яка задовольняє інтегральну тотожність

Функцію , яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим розв'язком першої крайової задачі або задачі Діріхле.

Має місце така теорема.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3 



Реферат на тему: Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок