Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Екстремальні задачі в нормованих просторах

Екстремальні задачі в нормованих просторах

Назва:
Екстремальні задачі в нормованих просторах
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
151,64 KB
Завантажень:
60
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4 
Нехай X та Y банахові простори над полем дійсних чисел і F – відображення, яке діє з X в Y та визначене на деякій відкритій множині U простору X. Умовимося позначати через множину лінійних обмежених операторів, які переводять простір X в Y.

Означення 1. Відображення F називається диференційовним за Фреше в точці якщо існує оператор такий що

Вираз називають диференціалом Фреше в точці x, а оператор - сильною похідною (або похідною Фреше). Будемо позначати цю похідну через

Означення 2. Диференціалом Гато відображення F в точці x називають границю

де збіжність розуміють по нормі простору Y.

Відповідну границю, якщо вона існує, будемо позначати символом DF(x,h). В тому випадку, коли існує оператор такий, що вираз називають слабою похідною (або похідною Гато).

Зауважимо, що з співвідношення (2) можна одержати наступний вираз для обчислення дифференціала Гато

Можна показати, що з диференційовності за Фреше випливає диференційованість за Гато, але з диференційовності за Гато не випливає диференційованість за Фреше.

Має місце наступна

Теорема 1. Нехай похідна Гато існує в деякому околі точки x0 і являє собою в цьому околі неперервну операторну функцію. Тоді в точці x0 існує похідна Фреше, причому

Нехай X, Y, Z - нормовані простори, U – окіл точки V – окіл точки - відображення U в V, а F – відображення V в Z і

Справедлива наступна

Теорема 2. Припустимо, що F(y) диференційовна за Фреше в точці y, а відображення диференційовне за Фреше (Гато) в точці x. Тоді відображення I(x) диференційовне за Фреше (Гато), причому відповідний диференціал має вигляд

Означення 3. Нехай відображення F(x,y) визначено в околі U точки і переводить U в Z . Якщо відображення F(x,y) при фіксованому y диференційовне в точці x (за Фреше, Гато), то його похідна називається частковою похідною по х відображення F в точці (x,y) і позначається Fx(x,y). Аналогічно визначається часткова похідна по y Fy(x,y).

Теорема 3 (про повний диференціал). Нехай відображення F(x,y) має в кожній точці околу U часткові похідні Fx(x,y), Fy(x,y), в розумінні Гато, які є неперервними відображеннями в U (в розумінні рівномірної операторної топології). Тоді F диференційовне за Фреше в цій точці, причому

Приклад 1. Нехай X – гільбертовий простір F(x)=(Qx,x), і Q - симетричний оператор.

Оскільки то Звідки Далі і

Отже,

Означення 4. Нехай F(x) деяке відображення простору X в Y. Будемо казати, що в точці існує друга похідна (у розумінні Фреше), якщо в деякому околі цієї точки відображення диференційовне (в розумінні Фреше).

Другу похідну будемо позначати символом

Очевидно, що

Якщо існує то справедлива формула

Вираз називають другим диференціалом Гато.

Приклад 2. Знайдемо другу похідну від функції F(x), яка визначена в прикладі 1.

Отже

Нехай F(x) - функціонал визначений на банаховому просторі X, який приймає дійсні значення. Задачу про відшукання точної нижньої межі або точної верхньої межі на множині будемо записувать у вигляді

Якщо U=X, то задача (6) або (7) називається задачей без обмежень.

Позначимо через множину точок на яких досягається точна нижня межа функціонала F(x). Аналогічний сенс має позначення

Зауважимо, що будь-яка задача на максимум для функціонала F(x) може бути зведена до задачі мінімізації, якщо замінити функціонал F(x) на -F(x).

Означення 5. Точка x0 називається точкою мінімума для функціоналу F(x), якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх х з вказаного околу.

Аналогічно визначається точка максимуму для функціоналу F(x). Точки мінімуму або максимуму називають екстремальними точками.

Покажемо, що справедливо

Твердження 1. Нехай існує диференціал Гато функціоналу F(x) в околі екстремальної точки x0. Тоді має місце співвідношення

Доведення. Нехай t – досить мале число. Тоді або для будь-яких досить малих t, тобто точка нуль є екстремальною для диференційовної функції f(t). Звідки але що і потрібно було довести.

Зауваження 1. Нехай існує похідна Гато функціоналу F(x) в околі точки x0. Тоді умову (2.8) можна переписать в вигляді

Перейдемо далі до формулювання умов екстремуму. В тому випадку, якщо простір X – скінченновимірний, а в точці перший диференціал функції F(x) відображається в нуль, то достатньою умовою екстремуму є додатня або від’ємна визначеність квадратичної форми

Для нескінченномірних просторів ця умова вже не є достатньою. Приведемо відповідний

Приклад 3. Нехай в сепарабельному гільбертовому просторі H з базисом l1, …, lk,… визначений функціонал

Зрозуміло, що F(0)=0, DF(0,h)=0,

Візьмемо точку , для якої Отже і оскільки то в будь-якому околі точки нуль існує точка така,що F( )0, що для Тоді точка х0 є точкою мінімуму.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4 



Реферат на тему: Екстремальні задачі в нормованих просторах

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок