Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Оцінювання в рівняннях еліптичного типу

Оцінювання в рівняннях еліптичного типу

Назва:
Оцінювання в рівняннях еліптичного типу
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
107,50 KB
Завантажень:
38
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Припустимо, що спостерігається значення випадкової величини з гільбертового простору , яка має вигляд

Тут - випадкова величина з простору з кореляційним оператором і нульвим середнім, L - узагальнений розв'язок лінійного стохастичного рівняння

де - випадкова величина з гільбертового простору з кореляційним оператором і нульовим середнім, L , - обмежена область простору з кусково-гладкою границею ,

і на коефіцієнти накладені ті ж обмеження, що і в §3.

Будемо шукати оцінку лінійного функціоналу

Зауважимо, що оскільки , де є розв'язком рівняння

а літерою позначено середнє значення, то при відшуканні оптимальних оцінок з умови

ми можемо, не обмежуючи загальності, вважати, що , і, отже, .

Припустимо, що в оператора існує обмежений обернений, не корельована з . Покажемо тоді, що має місце

Теорема 1. Оптимальна оцінка функціоналу зображується у вигляді

При цьому похибка оцінювання дорівнює

Тут , функції знаходяться з систем рівнянь

- канонічні ізоморфізми просторів і на спряжені.

Доведення. Покажемо спочатку, що має місце

Лема. Задача оптимального оцінювання еквівалентна задачі оптимального керування рівнянням

з критерієм якості вигляду

і при цьому

Доведення леми. Зауважимо, що

що і треба було довести.

Доведення теореми. Користуючись результатами § 3, одержимо, що існує єдиний розв'язок задачі оптимального керування (9), (10), тобто існує єдиний вектор , який має вигляд , де функція визначається із системи рівнянь (8), і при цьому .

Покажемо тепер, що справедлива рівність

де знаходиться з розв'язку системи рівнянь (7). З цією метою домножимо перше з рівнянь системи (7) на функцію і проінтегруємо по області. Тоді отримаємо, що

З другого рівняння системи

Використовуючи друге рівняння системи (4.7), одержимо

Враховуючи ці співвідношення, будемо мати, що

Покажемо далі, що. Використовуючи означення узагальненого розв'язку, а також друге рівняння системи (8), отримаємо, що

З цих співвідношень одержимо потрібну рівність, що і завершує доведення теореми.

Зауваження 1. Система рівнянь (7) у просторі має єдиний розв'язок. Це випливає з того факту, що якщо ввести функціонал

де є узагальненим розв'язком рівняння

то система рівнянь (7) є системою рівнянь Ейлера для функціоналу , який має єдину точку мінімуму, рівну .

Наслідок 1. Функція , яка визначається із системи рівнянь (7), є оптимальною лінійною середньоквадратичною оцінкою розв'язку задачі (4.2) за спостереженням за вектором вигляду (1), і при цьому похибка оцінювання дорівнює

Нехай простір скінченновимірний, тобто , де

де - відомі функції, - некорельовані випадкові величини.

Покажемо в цьому випадку, що справедлива

Твердження 1. Мають місце рівності

де функції знаходяться з рівнянь

а числа , є розв'язками системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Доведення. Запишемо в нашому випадку системи рівнянь (7), (8)

Позначимо через і величини .

З систем рівнянь (13), (14) отримаємо, що

Враховуючи далі вигляд і , одержимо означення цих чисел - систему лінійних алгебраїчних виразів.

Покажемо далі, що матриця з елементами , невід'ємно визначена:

Отже, матриця додатно визначена, а тому система рівнянь для має єдиний розв'язок. л

Припустимо далі, що вектор-функція належить обмеженій слабко замкненій множині простору . Розглянемо задачу про вибір вектора , який дає найменшу похибку оцінювання лінійного функціоналу , тобто задачу

Покажемо, що має місце

Теорема 2. Множина непорожня.

Доведення. Нехай - мінімізуюча послідовність, тобто . З послідовності виділимо слабко збіжну підпослідовність, для якої залишимо минулі позначення. Оскільки слабко замкнена, то границя цієї підпослідовності буде належати множині .

Покажемо, що , тобто що .

Зауважимо, що з теореми 1 випливає, що, де визначається з розв'язку системи рівнянь (13) при . Тому досить показати, що слабко збігається до .

Позначимо через вектор з компонентами.

Зауважимо далі, що

де - розв'язок першого з рівнянь системи (13) при. Звідси одержимо, що

а, отже, вектор обмежений.

Покажемо тепер, що з послідовності можна виділити слабко збіжну в просторі підпослідовність:

Звідси одержимо, що .

Нехай тепер збігається слабко до функції у просторі . Із другого рівняння системи (4.13) одержимо, що слабко збігається до функції у просторі , а оскільки простір цілком неперервно вкладається у простір , то сильно збігається в до .

Покажемо, що . Оскільки , то . Отже, якщо перейти до границі у співвідношеннях

отримаєм, що є розв'язками рівнянь

що в силу означення узагальненого розв'язку еквівалентне системі рівнянь (13) при , і тому

що і потрібно було показати.

Наведем необхідні умови для екстремальної точки .

Теорема 3. Нехай - опукла множина. Тоді має місце співвідношення

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Оцінювання в рівняннях еліптичного типу

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок