Головна Головна -> Реферати українською -> Математика -> Випадкові величини

Випадкові величини

Назва:
Випадкові величини
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
151,08 KB
Завантажень:
468
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4 
1. Випадкові величини  функції на просторі елементарних подій.

Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадкова величина  це величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика, число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина  є число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію на просторі елементарних подій .

Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має вигляд ГГ, ГР, РГ, РР. Нехай число появ герба. Величина є функцією елементарної події. Таблиця значень функції має наступний вигляд:

Г Г Г Р Р Г Р Р

2 1 1 0

Функціяна називається вимірною відносно алгебри , якщо для кожного дійсного х виконана умова х.

Випадковою величиною на () називається вимірна функція

яка задає відображення в множину дійсних чисел R.

Функцією розподілу випадкової величини називається функція

F(x)={ < x}.

Нехай ймовірнісний простір і випадкова величина на ньому. Показати,що кожна із множин множини

є випадковою подією, тобто кожна з цих множин належить   алгебрі . Показати, що P{ : x}= , P{x}= -

Р{ < b}= F(b)- F( ),

2. Дискретні випадкові величини.

Нехай  ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція на , яка набуває скінченне або зліченне число значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно алгебри. Це означає, що для кожного хі

{ x} (1)

Дійсно, якщо для функції має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно , так як для кожного дійсного х

{x}= { xі} .

Крім того, якщо вимірна відносно алгебри, то за Теоремою 1 для кожного дійсного х { x }. Таким чином, якщо дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі , яка приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена ймовірність

Рn=Р{xn} (2)

Нехай – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…, хі,…. Набір чисел

Р{)=xi}=pi (i=1,2,…)

називають р о з п о д і л о м випадкової величини . Зрозуміло, що

рі 0, .

Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями:

Функція розподілу дискретної випадкової величини () визначається рівністю

Сумісний розподіл випадкових величин . Нехай – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,…. Набір чисел

Р{)=xi, )=yi}=pij

(i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м

випадкових величин і (розподілом випадкового вектора ()). Мають місце такі твердження:

а) рij0,

б)

де {pi} розподіл (), {qi} – розподіл ().

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини

н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j

P{()=xi, ()= yi} = P{()=xi} • P{()= yi}.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд хірі збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді-

в а н н я м випадкової величини () називається сума ряду М () = Якщо хірі=+, то кажуть, що випадкова величина () не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини () визначається рівністю

D=M[- M]2= M2-( M)2=

Властивості дисперсії.

1. D=0 =соnst;

2. D

3. D(C)=c2 D;

4. D( C)= D.

5. Якщо та незалежні випадкові величини, то D()= D +D .

Коєфіцієнт коваріації випадкових величин та це:

Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин  і  називаються

Мають місце такі твердження:

Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли.

Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовування; в кожному випробовуванні може бути два результати: «успіх» - з імовірністю p, або невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо через  число «успіхів», тоді

Pn(k)=P{=k}= (k=0, 1,…, n).

Розподіл випадкової величини  називається

б і н о м і н а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або схеми Бернуллі.

Локальна теорема Муавра- Лапласа.Якщо ,то

Iнтегральна теорема Муавра – Лапласа. Якщо , р –константа, то

рівномірно по х1,х2

Теорема Пуассона. Якщо р=рn o та при

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4 



Реферат на тему: Випадкові величини

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок