Головна Головна -> Реферати українською -> Фізика -> Термодинамічні властив

Термодинамічні властив

Назва:
Термодинамічні властив
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
13,79 KB
Завантажень:
89
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4  5 
Термодинамічні властив

1. Вступ

2. Властивості електронного газу в основному стані.

3. Термодинамічні властивості газу вільних електронів.

4. Розподіл Фермі-Дірака.

5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.

6. Зоммерфельдівська теорія провідності в металах.

7. Термо-електрорушійна сила.

8. Недоліки моделі вільних електронів.

9. Основні припущення.

1. Вступ

В часи Друде, а потім і протягом багатьох років цілком розумним здавалося припущення, що розподіл електронів за швидкостями співпадає з розподілом у звичайному класичному газі з концентрацією n-N/V і описується в стані рівноваги при температурі T формулою Максвела-Больцмана. За таким припущенням число електронів в одиниці об'єму, швидкості яких лежать в інтервалі dV з центром V дорівнює fB(V)dV, де:

fB(V)=n(m/2πkBT)3/2e-mvv/2kT (1).

З цього видно, що електрони мають давати великий вклад в теплоємність металу, який дорівнює 3/2•kB на один електрон. Проте такий вклад помічений не був.

На протязі чверті століття цей парадокс викликав сумніви в справедливості моделі Друде, які розсіялись лише після створення квантової теорії і признання того факту, що для електронів в силу принципу заборони Паулі розподіл Максвела-Больцмана має бути замінений розподілом Фермі-Дірака:

f(V)=((m/ħ)3/4π3)(1/(exp((mv2/2-kBT0)/ kBT)-1)) (2).

Тут ħ- стала Планка, поділена на 2π, а T0- температура, що визначається з формули T=0,01T0 і зазвичай дорівнює десяткам тисяч градусів.

n=∫ f(V)dV (3).

При температурі нижче 103К і при електронних концентраціях, характерних для металів, розподіл Фермі-Дірака надзвичайно сильно відрізняється від розподілу Максвела-Больцмана.

Зомерфельд застосував принцип заборони Паулі до вільного електронного газу в металах. Модель Зомерфельда являє собою модель класичного електронного газу Друде, але розподіл електронів описується статистикою Фермі-Дірака, а не Максвела-Больцмана.

2. Властивості електронного газу в основному стані.

Нам необхідно розрахувати властивості основного стану системи із N електронів, що знаходяться в об'ємі V. Оскільки електрони не взаємодіють один з одним, основний стан цієї системи можна знайти вичисливши спочатку рівні енергії окремого електрона в об'ємі V і заповнюючи потім всі рівні знизу вверх у відповідності з принципом Паулі, який забороняє двом електронам одночасно займати один електронний рівень.

Для опису окремого електрона необхідно знати його хвильову функцію Ψ(r) і вказати, який напрям має спін. Згідно СРШ маємо:

-ħ/2m(∂ 2 / ∂ x2+ ∂ 2 / ∂ y2+∂ 2 / ∂ z 2)Ψ(r)= -ħ/2m▼2Ψ(r)=εΨ(r) (4).

Оскільки електрон рухається в металі об'ємом V, то вводячи граничні умови приймемо, що в нас є куб зі стороною L=V 1/3. При граничних умовах

Ψ(x+L)=Ψ(x), тому для куба маємо:

Ψ(x,y,z+L)=Ψ(x,y,z)

Ψ(x,y+L,z)=Ψ(x,y,z) (5).

Ψ(x+L,y,z)=Ψ(x,y,z)

Співвідношення (5) називаються граничними умовами Борна-Кармана.

Знайдемо розв'язок, що задовольняє граничні умови (5). Розв'язок (4), якщо знехтувати граничними умовами має вигляд:

Ψk(r)=eikr/√V (6),

при цьому:

ε(k)=ħk2/2m (7),

де k- будь-який вектор, який не залежить від просторових координат. В (6) ми вибрали нормований множник так, щоб ймовірність знаходження електрона будь-де по всьому об'єму V дорівнювала одиниці:

1=∫dr|Ψ(r)|2 (8).

Хвильова функція Ψk(r) являє собою відповідну функцію оператора імпульсу:

p=(ħ/i)( ∂/∂r)= (ħ/i)▼ ( px=(ħ/i)( ∂ / ∂x), py=(ħ/i)( ∂ / ∂y), pz=(ħ/i)( ∂ / ∂z) ) (9),

5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.

В газі вільних і незалежних електронів одно електронні рівні описуються хвильовим вектором k і спіновим числом s: енергії рівнів не залежать від s (при відсутності магнітного поля ) і визначаються виразом:

E(k)=ħ2k2/2m (1)

В основному стані зайняті тільки ті рівні, в яких E(k)≤EF, тому в основному стані функція розподілу повинна мати вигляд:

fkS={1, E(k)EF (2)

З іншої сторони в границі T→0 розподіл Фермі-Дірака набере вигляду

limT→0fkS={1, E(k)μ (3)

Щоб ці два вирази були сумісні, повинна виконуватися умова:

limT→0 μ=EF (4)

Одним з найбільш важливих прикладів застосування статистики Фермі-Дірака може служити розрахунок електронного вкладу в питому теплоємність металу при постійному об'ємі

cv=(T/V)(∂S/∂T)v=(∂U/∂T)v , (5)

u=U/V

В наближенні незалежних електронів внутрішня енергія U рівна сумі добутків E(k) на середнє число електронів на даному рівні, взятій по всіх одно електронних рівнях

U=2∑kE(k)f(E(k)) (6)

Щоб підкреслити, що fk залежить від k тільки через енергію електрона E(k) , ми ввели функцію Фермі

f(E)= 1/(exp((E-μ)/kST)+1) (7)

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2  3  4  5 



Реферат на тему: Термодинамічні властив

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок