Головна Головна -> Реферати українською -> Логіка -> Числення предикатiв. Теорiя першого порядку

Числення предикатiв. Теорiя першого порядку

Назва:
Числення предикатiв. Теорiя першого порядку
Тип:
Реферат
Мова:
Українська
Розмiр:
7,75 KB
Завантажень:
54
Оцінка:
 
поточна оцінка 5.0


Скачати цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 
Числення предикатiв, тобто формальна теорiя предикатiв будується за вищенаведеною класичною схемою побудови формальних (математичних) теорiй.

1. Алфавiт числення предикатiв, тобто множина вихiдних символiв складається з предметних (iндивiдних) змiнних x1,x2,..., предметних (iндивiдних) констант a1,a2,..., предикатних букв P11, P21,...,Pkj,... i функцiональних букв f11,f21,...,fkj,..., а також знакiв логiчних операцiй , , , , кванторiв ,  i роздiлових знакiв ( , ) , , (кома).

Верхнi iндекси предикатних i функцiональних букв вказують на число аргументiв (арнiсть), а нижнi використовують для звичайної нумерацiї букв.

2. Поняття формули означають у два етапи.

Спочатку означають поняття терма.

а). Предметнi змiннi i предметнi константи є термами.

б). Якщо f n - функцiональна буква, а t1,t2,...,tn - терми, то f n(t1,t2,...,tn) - терм.

в). Iнших термiв, крiм утворених за правилами а) i б), немає.

Вiдтак, формулюють означення формули.

а). Якщо Pn предикатна буква, а t1,t2,...,tn - терми, то Pn(t1,t2,...,tn) - формула, яка називається елементарною. Усi входження предметних змiнних у формулу Pn(t1,t2,...,tn) називають вiльними.

б). Якщо F1, F2 - формули, то вирази (F1), (F1F2), (F1F2), (F1F2) теж є формулами. Усi входження змiнних, вiльнi у F1 i F2, є вiльними й в усiх чотирьох видах формул.

в). Якщо F(x) - формула, що мiстить вiльнi входження змiнної x, то xF(x) i xF(x) - формули.

У цих формулах усi входження змiнної x називають зв’язаними. Входження решти змiнних у F залишаються вiльними.

г). Iнших формул, нiж побудованих за правилами а), б) i в), немає.

Зауваження. Функцiональнi букви i терми введено в означення для потенцiйних потреб рiзноманiтних конкретних прикладних числень предикатiв. У прикладних численнях предметна область M є, як правило, носiєм певної алгебраїчної системи, тому в численнi доцiльно мати засоби для опису операцiй i вiдношень, заданих на M. Чисте числення предикатiв будується для довiльної предметної областi; структура цiєї областi i зв’язки (вiдношення) мiж її елементами не беруться до уваги, тому в ньому вводити функцiональнi букви i терми не обов’язково.

3. Аксiоми числення предикатiв утворюють двi групи аксiом.

а). Першу групу складають аксiоми довiльного числення висловлень (наприклад, можна взяти будь-яку з вищенаведених двох систем A1-A10 або S1-S3). Як правило, цi аксiоми є схемами аксiом.

б). У другу групу входять так званi предикатнi аксiоми:

P1. xF(x)F(y),

P2. F(y)xF(x).

У цих аксiомах F(x) - будь-яка формула, яка мiстить вiльнi входження x, причому жодне з них не знаходиться в областi дiї квантора по y. Формулу F(y) отримуємо з F(x) замiною всiх вiльних входжень змiнної x на y.

Останнє зауваження означає, що формула F(x) не може мати, наприклад, вигляд yA(x,y) або y(A(x)B(y)) тощо.

4. Правилами виведення у численнi предикатiв є такi правила.

а). Правило висновку (modus ponens) - те саме, що й у численнi висловлень.

б). Правило узагальнення (правило введення квантора ): з AB(x) виводиться AxB(x).

в). Правило введення квантора : з B(x)A виводяться xB(x)A.

В обох останнiх правилах формула B(x) мiстить вiльнi входження x, а A їх не мiстить.

Правило пiдстановки в нашому численнi вiдсутнє. Отже, з двох можливих методiв побудови числення обрано метод зi схемами аксiом. Побудова числення предикатiв з правилом пiдстановки можлива, однак вона є суттєво бiльш громiздкою через необхiднiсть розрiзняти при пiдстановках вiльнi i зв’язанi входження предметних змiнних. Тому частiше в логiцi використовують пiдхiд зi схемами аксiом.

Поняття виведення (доведення) формули, поняття теореми, виведення формули з множини гiпотез означаються у численнi предикатiв аналогiчно тому, як це було зроблено у численнi висловлень. Мають мiсце також теореми, подiбнi до теорем 5.5 i 5.6 числення висловлень.

Теорема 5.7. Будь-яка вивiдна формула (теорема) числення предикатiв є тотожно iстиною (логiчно загальнозначущою) формулою.

Ця теорема доводиться аналогiчно теоремi 5.5. Спочатку безпосередньо перевiряється, що всi аксiоми є лзз формулами. Вiдтак, доводиться, що усi правила виведення зберiгають властивiсть лзз.

Теорема 5.8. Будь-яка тотожно iстинна предикатна формула є вивiдною (теоремою) в численнi предикатiв.

Доведення цiєї теореми досить складне i тут не наводитиметься.

З останнiх теорем випливає твердження, подiбне до твердження теореми 5.1.

Теорема 5.9. Предикатнi формули A i B рiвносильнi тодi i тiльки тодi, коли формула ((AB)(BA)) є вивiдною в численнi предикатiв, тобто є лзз.

Завантажити цю роботу безкоштовно
Пролистати роботу: 1  2 



Реферат на тему: Числення предикатiв. Теорiя першого порядку

BR.com.ua © 1999-2017 | Реклама на сайті | Умови використання | Зворотній зв'язок